Descreva o espaço-coluna e o espaço nulo das seguintes matrizes:
A=(cc 1 & -1 0 & 0 ), B=(ccc 0 & 0 & 3 1 & 2 & 3 ), C=(ccc 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre espaço-coluna e espaço nulo de três matrizes diferentes. Esses conceitos fazem parte da Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar entender o que são espaço-coluna (conjunto de todas as combinações lineares das colunas de uma matriz) e espaço nulo (conjunto de todas as soluções do sistema homogêneo ). Agora, vamos por partes para cada matriz: A, B e C.

Passo 2

Vamos começar com a matriz A = 1 & -1 0 & 0 :
Primeiro, vamos encontrar o espaço-coluna de .

Passo 3

Espaço-Coluna de c1 = 1 0 , c2 = -1 0 :
O espaço-coluna é formado pelas combinações lineares das colunas de k1 1 0 + k2 -1 0 = k1 - k2 0 . As colunas de são:
Qualquer vetor no espaço-coluna pode ser escrito como , onde e são escalares. Nesse caso:
Isso mostra que todo vetor no espaço-coluna de tem a segunda coordenada igual a zero.

Passo 4

Espaço Nulo de 1 & -1 0 & 0 x1 x2 = 0 0 :

Para encontrar o espaço nulo, precisamos resolver 1x1 - 1x2 = 0 0x1 + 0x2 = 0 :
$$
t t , t in R

, \quad t \in \mathbb{R}
$$

Passo 5

Vamos agora para a matriz B = 0 & 0 & 3 1 & 2 & 3 :
Primeiro, vamos achar o espaço-coluna de .

Passo 6

Espaço-Coluna de b1 = 0 1 , b2 = 0 2 , b3 = 3 3 :
As colunas de Espaço-Coluna de B = span 0 1 , 3 3 são:
Vamos ver se as colunas são lineares. Observamos que , então a terceira coluna pode ser escrita como combinação de e . Portanto, o espaço-coluna de é gerado por e :
ç

Passo 7

Espaço Nulo de 0 & 0 & 3 1 & 2 & 3 x1 x2 x3 = 0 0 :

Precisamos resolver 0x1 + 0x2 + 3x3 = 0 1x1 + 2x2 + 3x3 = 0 :
$$
x1 + 2x2 = 0 Rightarrow x1 = -2x2
-2t t 0 , t in R

x_1 + 2x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = -2x_2
, \quad t \in \mathbb{R}
$$

Passo 8

Por fim, vamos analisar a matriz C = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 :
Primeiro, o espaço-coluna de .

Passo 9

Espaço-Coluna de 0 0 , 0 0 , 0 0 :
Todas as colunas de Espaço-Coluna de C = 0 0 são vetores nulos:
Logo, o espaço-coluna de contém apenas o vetor zero:
ç

Passo 10

Espaço Nulo de 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 x1 x2 x3 = 0 0 :

Precisamos resolver 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0 :
$$
Espaço Nulo de C = R^3

Espaço Nulo de C = \mathbb{R}^3
$$

Resposta

Resumindo, os espaços coluna e nulo das matrizes são:
Para k 0 :
  • Espaço-Coluna de t t : Todos os vetores 0 1 , onde 3 3 é real.
  • Espaço Nulo de -2t t 0 : Todos os vetores 0 0 , onde é real.
Para :
  • Espaço-Coluna de :
  • Espaço Nulo de : Todos os vetores , onde é real.
Para :
  • Espaço-Coluna de :
  • Espaço Nulo de : Todo o espaço .

Exercícios relacionados