Descreva o espaço-coluna e o espaço nulo das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre espaço-coluna e espaço nulo de três matrizes diferentes. Esses conceitos fazem parte da Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar entender o que são espaço-coluna (conjunto de todas as combinações lineares das colunas de uma matriz) e espaço nulo (conjunto de todas as soluções do sistema homogêneo ). Agora, vamos por partes para cada matriz: A, B e C.
Passo 2
Vamos começar com a matriz :
Primeiro, vamos encontrar o espaço-coluna de .
Passo 3
Espaço-Coluna de :
O espaço-coluna é formado pelas combinações lineares das colunas de . As colunas de são:
Qualquer vetor no espaço-coluna pode ser escrito como , onde e são escalares. Nesse caso:
Isso mostra que todo vetor no espaço-coluna de tem a segunda coordenada igual a zero.
Passo 4
Espaço Nulo de :
Para encontrar o espaço nulo, precisamos resolver :
$$
, \quad t \in \mathbb{R}
$$
Passo 5
Vamos agora para a matriz :
Primeiro, vamos achar o espaço-coluna de .
Passo 6
Espaço-Coluna de :
As colunas de são:
Vamos ver se as colunas são lineares. Observamos que , então a terceira coluna pode ser escrita como combinação de e . Portanto, o espaço-coluna de é gerado por e :
Passo 7
Espaço Nulo de :
Precisamos resolver :
$$
x_1 + 2x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = -2x_2
, \quad t \in \mathbb{R}
$$
Passo 8
Por fim, vamos analisar a matriz :
Primeiro, o espaço-coluna de .
Passo 9
Espaço-Coluna de :
Todas as colunas de são vetores nulos:
Logo, o espaço-coluna de contém apenas o vetor zero:
ç
Passo 10
Espaço Nulo de :
Precisamos resolver :
$$
Espaço Nulo de C = \mathbb{R}^3
$$
Resposta
Resumindo, os espaços coluna e nulo das matrizes são:
Para :
Espaço-Coluna de : Todos os vetores , onde é real.