Descreva o espaço-coluna e o espaço nulo das seguintes matrizes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre espaço-coluna e espaço nulo de três matrizes diferentes. Esses conceitos fazem parte da Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar entender o que são espaço-coluna (conjunto de todas as combinações lineares das colunas de uma matriz) e espaço nulo (conjunto de todas as soluções do sistema homogêneo ). Agora, vamos por partes para cada matriz: A, B e C.

Passo 2

Vamos começar com a matriz :
Primeiro, vamos encontrar o espaço-coluna de .

Passo 3

Espaço-Coluna de :
O espaço-coluna é formado pelas combinações lineares das colunas de . As colunas de são:
Qualquer vetor no espaço-coluna pode ser escrito como , onde e são escalares. Nesse caso:
Isso mostra que todo vetor no espaço-coluna de tem a segunda coordenada igual a zero.

Passo 4

Espaço Nulo de :

Para encontrar o espaço nulo, precisamos resolver :
$$

, \quad t \in \mathbb{R}
$$

Passo 5

Vamos agora para a matriz :
Primeiro, vamos achar o espaço-coluna de .

Passo 6

Espaço-Coluna de :
As colunas de são:
Vamos ver se as colunas são lineares. Observamos que , então a terceira coluna pode ser escrita como combinação de e . Portanto, o espaço-coluna de é gerado por e :
ç

Passo 7

Espaço Nulo de :

Precisamos resolver :
$$

x_1 + 2x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = -2x_2
, \quad t \in \mathbb{R}
$$

Passo 8

Por fim, vamos analisar a matriz :
Primeiro, o espaço-coluna de .

Passo 9

Espaço-Coluna de :
Todas as colunas de são vetores nulos:
Logo, o espaço-coluna de contém apenas o vetor zero:
ç

Passo 10

Espaço Nulo de :

Precisamos resolver :
$$

Espaço Nulo de C = \mathbb{R}^3
$$

Resposta

Resumindo, os espaços coluna e nulo das matrizes são:
Para :
  • Espaço-Coluna de : Todos os vetores , onde é real.
  • Espaço Nulo de : Todos os vetores , onde é real.
Para :
  • Espaço-Coluna de :
  • Espaço Nulo de : Todos os vetores , onde é real.
Para :
  • Espaço-Coluna de :
  • Espaço Nulo de : Todo o espaço .

Exercícios relacionados

Prove que uma matriz quadrada e sua transposta têm os mesmos autovalores. O que se pode afirmar sobre os autovetores associados de e de ?
Em cada item, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Em , os vetores de norma 5 cujo ponto inicial esteja na origem têm ponto final num círculo de raio 5 centrado na origem.
Quais das seguintes descrições (pode haver mais de uma) estão corretas? As soluções de
formam
(a) um plano
(b) uma reta
© um ponto
(d) um subespaço
(e) o espaço nulo de
(f) o espaço-coluna de
Verifique se quais das transforcões são lineares: