Prove que uma matriz quadrada
e sua transposta
têm os mesmos autovalores. O que se pode afirmar sobre os autovetores associados de
e de
?
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que pede para provar que uma matriz quadrada
e a sua transposta
têm os mesmos autovalores. Além disso, vamos discutir o que acontece com os autovetores dessas matrizes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores, autovetores e transposição de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz quadrada
, um autovalor
e seu correspondente autovetor
satisfazem a equação:
Isso significa que, quando a matriz
atua sobre o vetor
, o resultado é apenas uma escala do vetor
pelo fator
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a transposta de uma matriz. A transposta
de uma matriz
é formada trocando-se as linhas pelas colunas. Ou seja, o elemento que está na posição
em
passa para a posição
em
.
Passo 4
Para provar que
e
têm os mesmos autovalores, vamos usar o polinômio característico. O polinômio característico de
é dado por:
onde
é a matriz identidade. As raízes desse polinômio são os autovalores de
.
Passo 5
Vamos calcular o polinômico característico de
:
Uma propriedade importante do determinante é que o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta. Ou seja:
Aplicando isso ao polinômio característico:
Isso mostra que
, ou seja,
e
têm o mesmo polinômio característico e, portanto, os mesmos autovalores.
Passo 6
Agora, sobre os autovetores. Sabemos que se
é um autovetor de
correspondente ao autovalor
, então:
Para a transposta
, queremos ver se
também é um autovetor. Vamos ver:
No entanto, isso não necessariamente significa que
é um autovetor de
, a menos que
seja o mesmo para
e
, o que geralmente só acontece se
for uma matriz simétrica (
).
Resposta
Então, concluímos que uma matriz quadrada
e sua transposta
têm os mesmos autovalores. Quanto aos autovetores, eles podem ser diferentes para
e
, a menos que
seja uma matriz simétrica, onde os autovetores seriam os mesmos para ambas as matrizes.