Prove que uma matriz quadrada A e sua transposta A^t têm os mesmos autovalores. O que se pode afirmar sobre os autovetores associados de A e de A^t?

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que pede para provar que uma matriz quadrada e a sua transposta têm os mesmos autovalores. Além disso, vamos discutir o que acontece com os autovetores dessas matrizes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores, autovetores e transposição de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz quadrada Av = lambda v , um autovalor e seu correspondente autovetor satisfazem a equação:
Isso significa que, quando a matriz atua sobre o vetor , o resultado é apenas uma escala do vetor pelo fator .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz é formada trocando-se as linhas pelas colunas. Ou seja, o elemento que está na posição em passa para a posição em .

Passo 4

Para provar que pA(lambda) = det(A - lambda I) e têm os mesmos autovalores, vamos usar o polinômio característico. O polinômio característico de é dado por:
onde é a matriz identidade. As raízes desse polinômio são os autovalores de .

Passo 5

Vamos calcular o polinômico característico de pA^t(lambda) = det(A^t - lambda I) :
det(A^t) = det(A)
Uma propriedade importante do determinante é que o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta. Ou seja:
pA^t(lambda) = det(A^t - lambda I) = det((A - lambda I)^t) = det(A - lambda I) = pA(lambda)
Aplicando isso ao polinômio característico:
Isso mostra que , ou seja, e têm o mesmo polinômio característico e, portanto, os mesmos autovalores.

Passo 6

Agora, sobre os autovetores. Sabemos que se Av = lambda v é um autovetor de A^tv = (Av)^t = (lambda v)^t = lambda v^t correspondente ao autovalor , então:
Para a transposta , queremos ver se também é um autovetor. Vamos ver:
No entanto, isso não necessariamente significa que é um autovetor de , a menos que seja o mesmo para e , o que geralmente só acontece se for uma matriz simétrica ( ).

Resposta

Então, concluímos que uma matriz quadrada e sua transposta têm os mesmos autovalores. Quanto aos autovetores, eles podem ser diferentes para e , a menos que seja uma matriz simétrica, onde os autovetores seriam os mesmos para ambas as matrizes.

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