Prove que uma matriz quadrada e sua transposta têm os mesmos autovalores. O que se pode afirmar sobre os autovetores associados de e de ?
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que pede para provar que uma matriz quadrada e a sua transposta têm os mesmos autovalores. Além disso, vamos discutir o que acontece com os autovetores dessas matrizes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores, autovetores e transposição de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz quadrada , um autovalor e seu correspondente autovetor satisfazem a equação:
Isso significa que, quando a matriz atua sobre o vetor , o resultado é apenas uma escala do vetor pelo fator .
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz é formada trocando-se as linhas pelas colunas. Ou seja, o elemento que está na posição em passa para a posição em .
Passo 4
Para provar que e têm os mesmos autovalores, vamos usar o polinômio característico. O polinômio característico de é dado por:
onde é a matriz identidade. As raízes desse polinômio são os autovalores de .
Passo 5
Vamos calcular o polinômico característico de :
Uma propriedade importante do determinante é que o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta. Ou seja:
Aplicando isso ao polinômio característico:
Isso mostra que , ou seja, e têm o mesmo polinômio característico e, portanto, os mesmos autovalores.
Passo 6
Agora, sobre os autovetores. Sabemos que se é um autovetor de correspondente ao autovalor , então:
Para a transposta , queremos ver se também é um autovetor. Vamos ver:
No entanto, isso não necessariamente significa que é um autovetor de , a menos que seja o mesmo para e , o que geralmente só acontece se for uma matriz simétrica ().
Resposta
Então, concluímos que uma matriz quadrada e sua transposta têm os mesmos autovalores. Quanto aos autovetores, eles podem ser diferentes para e , a menos que seja uma matriz simétrica, onde os autovetores seriam os mesmos para ambas as matrizes.