Em cada item, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta.
b) gera .

Passo 1

Então, a gente tem a afirmação de que o conjunto gera , que é o espaço das polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto gerar um espaço vetorial e verificar se esses polinômios conseguem combinar para formar qualquer polinômio de grau até 2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é um espaço vetorial com dimensão 3, ou seja, precisamos de três polinômios que sejam linearmente independentes para gerar todo esse espaço. Os polinômios que temos são 1, e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se esses polinômios são linearmente independentes. Se conseguirmos escrever um deles como combinação dos outros, eles não serão independentes. Observando , vemos que ele pode ser escrito como . Isso significa que é uma combinação linear dos outros polinômios do conjunto.

Passo 4

Já que não adiciona nenhuma nova informação ao conjunto (ele é dependente dos outros), na verdade, nosso conjunto efetivo é , que tem apenas dois polinômios. Como precisa de três polinômios independentes para ser gerado, nosso conjunto não é suficiente.

Resposta

A afirmação é falsa, pois o conjunto não é suficiente para gerar todo o espaço , já que os polinômios são linearmente dependentes e o espaço precisa de três elementos independentes para ser gerado.

Exercícios relacionados

Determine quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
d) possui grau igual a 3
Sejam e
a) Os vetores e são LI ou LD?
Determine quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
d) ou
Quais dos seguintes vetores são combinação linear de e ?
b)