Determine quais dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
d) W=(x1, x2, x3) in R^3 mid x3=x1 ou x3=x2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto ou é um subespaço vetorial. A gente vai usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços, como a presença do vetor zero, fechamento por adição e por multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também está.
  3. Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo dele também está.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto W.

Passo 3

Condição 1: Vetor zero
O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Vamos ver se ele pertence a W.
Para (0, 0, 0), temos x3 = 0 = x1 e também x3 = 0 = x2. Então, ele satisfaz as duas condições x3 = x1 ou x3 = x2. Logo, o vetor zero está em W.

Passo 4

Condição 2: Fechamento por adição
Vamos pegar dois vetores quaisquer em W e ver se a soma deles também está em W.
Vamos chamar os vetores de u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3).
  • Se u in W, então u3 = u1 ou u3 = u2.
  • Se v in W, então v3 = v1 ou v3 = v2.
Vamos considerar diferentes casos:
  1. Caso 1: u3 = u1 e v3 = v1.
    • Soma: u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) = (u1 + v1, u2 + v2, u1 + v1).
    • Aqui, o terceiro componente é igual ao primeiro, então u + v in W.
  2. Caso 2: u3 = u1 e v3 = v2.
    • Soma: u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u1 + v2).
    • Para u + v estar em W, precisaríamos que u1 + v2 = u1 + v1 ou u1 + v2 = u2 + v2. Isso implica que v1 = v2.
    • Mas não sabemos se v1 = v2, então não podemos garantir que u + v in W.
Como existe um caso em que a soma de dois vetores de W pode não estar em W, a condição de fechamento por adição não é sempre satisfeita.

Passo 5

Condição 3: Fechamento por multiplicação por escalar
Mesmo que a condição de adição já tenha falhado, vamos verificar a multiplicação por escalar para completar a análise.
Pega qualquer vetor u = (u1, u2, u3) in W e um escalar c in R.
  • Se u3 = u1, então c u3 = c u1, então o terceiro componente c u3 = c u1, então c u in W.
  • Se u3 = u2, então c u3 = c u2, então o terceiro componente c u3 = c u2, então c u in W.
Então, a condição de fechamento por multiplicação por escalar é satisfeita.

Resposta

Como não conseguimos garantir que a soma de dois vetores de W também pertença a W, o conjunto W não é um subespaço vetorial de R^3.

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