Determine quais dos conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
d)
ou
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto ou é um subespaço vetorial. A gente vai usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços, como a presença do vetor zero, fechamento por adição e por multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também está.
- Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo dele também está.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
Condição 1: Vetor zero
O vetor zero em é
. Vamos ver se ele pertence a
.
O vetor zero em
Para
, temos
e também
. Então, ele satisfaz as duas condições
ou
. Logo, o vetor zero está em
.
Passo 4
Condição 2: Fechamento por adição
Vamos pegar dois vetores quaisquer em e ver se a soma deles também está em
.
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
Vamos chamar os vetores de
e
.
- Se
, então ou . - Se
, então ou .
Vamos considerar diferentes casos:
-
Caso 1:
e . - Soma:
. - Aqui, o terceiro componente é igual ao primeiro, então
.
- Soma:
-
Caso 2:
e . - Soma:
. - Para
estar em , precisaríamos que ou . Isso implica que . - Mas não sabemos se
, então não podemos garantir que .
- Soma:
Como existe um caso em que a soma de dois vetores de
pode não estar em
, a condição de fechamento por adição não é sempre satisfeita.
Passo 5
Condição 3: Fechamento por multiplicação por escalar
Mesmo que a condição de adição já tenha falhado, vamos verificar a multiplicação por escalar para completar a análise.
Mesmo que a condição de adição já tenha falhado, vamos verificar a multiplicação por escalar para completar a análise.
Pega qualquer vetor
e um escalar
.
- Se
, então , então o terceiro componente , então . - Se
, então , então o terceiro componente , então .
Então, a condição de fechamento por multiplicação por escalar é satisfeita.
Resposta
Como não conseguimos garantir que a soma de dois vetores de
também pertença a
, o conjunto
não é um subespaço vetorial de
.