Determine quais dos conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
d)
possui grau igual a 3
d)
Passo 1
E aí! Vamos dar uma olhada nesse problema juntos. A questão pede para a gente verificar se o conjunto
, formado por todos os polinômios de grau igual a 3 dentro de
(que é o conjunto de polinômios de grau até 4), é um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender sobre subespaços vetoriais e verificar algumas propriedades básicas. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor zero (neste caso, o polinômio zero) deve estar no conjunto.
- Fechado pela adição: Se pegar dois polinômios no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
- Fechado pela multiplicação por escalar: Se pegar um polinômio no conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em
é o polinômio
. Mas, qual é o grau desse polinômio?
- O polinômio zero não tem um grau definido, ou seja, não é considerado um polinômio de grau 3.
Portanto, o vetor zero não está em
.
Passo 4
Já que a primeira condição falhou, tecnicamente não precisamos verificar as outras. Mas, para entender melhor, vamos dar uma olhada rápida.
2. Fechado pela adição:
Se pegar dois polinômios de grau 3, por exemplo,
e
, a soma
pode ter grau menor que 3 se os termos de
se cancelarem.
3. Fechado pela multiplicação por escalar:
Se multiplicarmos um polinômio de grau 3 por zero, teremos o polinômio zero, que já vimos que não está em
.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
porque ele não contém o vetor zero e não é fechado pela adição e multiplicação por escalares.