Determine quais dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
d) W=p in P4 mid p possui grau igual a 3

Passo 1

E aí! Vamos dar uma olhada nesse problema juntos. A questão pede para a gente verificar se o conjunto W, formado por todos os polinômios de grau igual a 3 dentro de P4 (que é o conjunto de polinômios de grau até 4), é um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender sobre subespaços vetoriais e verificar algumas propriedades básicas. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero (neste caso, o polinômio zero) deve estar no conjunto.
  2. Fechado pela adição: Se pegar dois polinômios no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
  3. Fechado pela multiplicação por escalar: Se pegar um polinômio no conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para W.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em P4 é o polinômio p(x) = 0. Mas, qual é o grau desse polinômio?
  • O polinômio zero não tem um grau definido, ou seja, não é considerado um polinômio de grau 3.
Portanto, o vetor zero não está em W.

Passo 4

Já que a primeira condição falhou, tecnicamente não precisamos verificar as outras. Mas, para entender melhor, vamos dar uma olhada rápida.
2. Fechado pela adição:
Se pegar dois polinômios de grau 3, por exemplo, p(x) = ax^3 + dots e q(x) = bx^3 + dots, a soma p(x) + q(x) pode ter grau menor que 3 se os termos de x^3 se cancelarem.
3. Fechado pela multiplicação por escalar:
Se multiplicarmos um polinômio de grau 3 por zero, teremos o polinômio zero, que já vimos que não está em W.

Resposta

O conjunto W não é um subespaço vetorial de P4 porque ele não contém o vetor zero e não é fechado pela adição e multiplicação por escalares.

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