Quais dos seguintes vetores são combinação linear de e ?
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se o vetor pode ser formado combinando linearmente os vetores , e . Isso significa que queremos ver se existem números (chamados de coeficientes) que multiplicados por esses vetores, somados, dão exatamente o vetor . Para resolver isso, vamos usar álgebra linear e montar um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir a ideia de combinação linear para uma equação matemática. Queremos encontrar números , e tais que:
Substituindo os vetores:

Passo 3

Agora, vamos separar isso em componentes x, y e z. Isso nos dá um sistema de três equações:
  1. Para a componente x:
  1. Para a componente y:
  1. Para a componente z:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos simplificar ou usar métodos como substituição ou eliminação. Vamos começar simplificando a primeira equação:

Passo 5

Agora que temos em termos de , substituímos isso na terceira equação:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda equação original substituindo :
Simplificando:
Dividindo tudo por 4:

Passo 7

Vejamos, tanto da segunda quanto da terceira equação, chegamos em:
Isso significa que temos uma igualdade redundante, e precisamos definir um valor para . Podemos escolher para simplificar.
Então:
E substituindo em :

Resposta

Sim, o vetor é uma combinação linear de , e com os coeficientes , e .

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Determine quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
d) ou
Em cada item, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta.
b) gera .
Seja o conjunto dos números reais. Defina a soma e a multiplicação por escalar por e , respectivamente. Verifique se é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações.
Verifique se:
(d) formam uma base de .