Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v1=(5,-3,1), v2=(0,4,3) e v3= (-10,18,7) ?
b) (10,2,8)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se o vetor (10, 2, 8) pode ser formado combinando linearmente os vetores v1 = (5, -3, 1), v2 = (0, 4, 3) e v3 = (-10, 18, 7). Isso significa que queremos ver se existem números (chamados de coeficientes) que multiplicados por esses vetores, somados, dão exatamente o vetor (10, 2, 8). Para resolver isso, vamos usar álgebra linear e montar um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir a ideia de combinação linear para uma equação matemática. Queremos encontrar números c1, c2 e c3 tais que:
c1 cdot v1 + c2 cdot v2 + c3 cdot v3 = (10, 2, 8)
Substituindo os vetores:
c1 cdot (5, -3, 1) + c2 cdot (0, 4, 3) + c3 cdot (-10, 18, 7) = (10, 2, 8)

Passo 3

Agora, vamos separar isso em componentes x, y e z. Isso nos dá um sistema de três equações:
  1. Para a componente x:
5c1 + 0c2 - 10c3 = 10
  1. Para a componente y:
-3c1 + 4c2 + 18c3 = 2
  1. Para a componente z:
c1 + 3c2 + 7c3 = 8

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos simplificar ou usar métodos como substituição ou eliminação. Vamos começar simplificando a primeira equação:
5c1 - 10c3 = 10 Rightarrow c1 = 10 + 10c35 = 2 + 2c3

Passo 5

Agora que temos c1 em termos de c3, substituímos isso na terceira equação:
(2 + 2c3) + 3c2 + 7c3 = 8
Simplificando:
2 + 2c3 + 3c2 + 7c3 = 8 Rightarrow 3c2 + 9c3 = 6 Rightarrow c2 + 3c3 = 2

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda equação original substituindo c1:
-3(2 + 2c3) + 4c2 + 18c3 = 2
Simplificando:
-6 - 6c3 + 4c2 + 18c3 = 2 Rightarrow 4c2 + 12c3 = 8
Dividindo tudo por 4:
c2 + 3c3 = 2

Passo 7

Vejamos, tanto da segunda quanto da terceira equação, chegamos em:
c2 + 3c3 = 2
Isso significa que temos uma igualdade redundante, e precisamos definir um valor para c3. Podemos escolher c3 = 0 para simplificar.
Então:
c2 + 0 = 2 Rightarrow c2 = 2
E substituindo c3 = 0 em c1 = 2 + 2c3:
c1 = 2 + 0 = 2

Resposta

Sim, o vetor (10, 2, 8) é uma combinação linear de v1, v2 e v3 com os coeficientes c1 = 2, c2 = 2 e c3 = 0.

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