Quais dos seguintes vetores são combinação linear de
e
?
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se o vetor
pode ser formado combinando linearmente os vetores
,
e
. Isso significa que queremos ver se existem números (chamados de coeficientes) que multiplicados por esses vetores, somados, dão exatamente o vetor
. Para resolver isso, vamos usar álgebra linear e montar um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir a ideia de combinação linear para uma equação matemática. Queremos encontrar números
,
e
tais que:
Substituindo os vetores:
Passo 3
Agora, vamos separar isso em componentes x, y e z. Isso nos dá um sistema de três equações:
- Para a componente x:
- Para a componente y:
- Para a componente z:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos simplificar ou usar métodos como substituição ou eliminação. Vamos começar simplificando a primeira equação:
Passo 5
Agora que temos
em termos de
, substituímos isso na terceira equação:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda equação original substituindo
:
Simplificando:
Dividindo tudo por 4:
Passo 7
Vejamos, tanto da segunda quanto da terceira equação, chegamos em:
Isso significa que temos uma igualdade redundante, e precisamos definir um valor para
. Podemos escolher
para simplificar.
Então:
E substituindo
em
:
Resposta
Sim, o vetor
é uma combinação linear de
,
e
com os coeficientes
,
e
.
Exercícios relacionados
Determine quais dos conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
d) ou
d)
Em cada item, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta.
b) gera
.
b)
Seja
o conjunto dos números reais. Defina a soma e a multiplicação por escalar por
e
, respectivamente. Verifique se
é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações.
Verifique se:
(d) formam uma base de
.
(d)