Determine se os conjuntos de vetores abaixo são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Justifique.
b)
onde
e
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se o conjunto de vetores
dentro do espaço das polinômios de grau até 4 (
) é linearmente dependente ou independente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre combinação linear e dependência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente ou independente. Um conjunto é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se
só tem a solução
.
Por outro lado, se existir pelo menos uma combinação não trivial (com algum
diferente de zero) que dá o vetor zero, o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Vamos aplicar isso aos nossos polinômios:
Substituindo os polinômios:
Passo 4
Agora, vamos expandir e juntar os termos semelhantes:
Para essa igualdade ser verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(termo constante)
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo:
- Da primeira equação:
⇒ - Da segunda equação:
- Da terceira equação:
⇒ - Da quarta equação:
⇒ (já satisfeita) - Da quinta equação:
⇒ (já satisfeita)
Resposta
Como a única solução para o sistema é
, concluímos que os vetores
são linearmente independentes.
Exercícios relacionados
Sejam
e
b) Os vetores e
são LI ou LD?
b) Os vetores
Considere dois vetores
e
no espaço tridimensional, onde
e
.
Mostre que o módulo do produto vetorial de e
é igual à área do paralelogramo formado por eles.
Mostre que o módulo do produto vetorial de
Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de
abaixo descritos:
c) matrizes em que os elementos da segunda linha é igual aos elementos da terceira coluna.
c) matrizes em que os elementos da segunda linha é igual aos elementos da terceira coluna.
Em cada item, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta.
a) gera
.
a)