Determine se os conjuntos de vetores abaixo são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Justifique.
b) S=p1, p2, p3 subseteq P4 onde p1(x)=x^3-5 x^2+1, p2(x)=2 x^4+5 x-6 e p3(x)=x^2-5 x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se o conjunto de vetores dentro do espaço das polinômios de grau até 4 ( ) é linearmente dependente ou independente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre combinação linear e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente ou independente. Um conjunto é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se só tem a solução .
Por outro lado, se existir pelo menos uma combinação não trivial (com algum diferente de zero) que dá o vetor zero, o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos polinômios:
c1 p1(x) + c2 p2(x) + c3 p3(x) = 0
Substituindo os polinômios:
c1 (x^3 - 5x^2 + 1) + c2 (2x^4 + 5x - 6) + c3 (x^2 - 5x + 2) = 0

Passo 4

Agora, vamos expandir e juntar os termos semelhantes:
c2 cdot 2x^4 + c1 cdot x^3 + (-5c1 + c3) x^2 + (5c2 - 5c3) x + (c1 - 6c2 + 2c3) = 0
Para essa igualdade ser verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
  1. (coeficiente de )
  2. (coeficiente de )
  3. (coeficiente de )
  4. (coeficiente de )
  5. (termo constante)

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Da terceira equação:
  4. Da quarta equação: (já satisfeita)
  5. Da quinta equação: (já satisfeita)

Resposta

Como a única solução para o sistema é , concluímos que os vetores são linearmente independentes.

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