Determine se os conjuntos de vetores abaixo são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Justifique.
b) onde e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se o conjunto de vetores dentro do espaço das polinômios de grau até 4 ( ) é linearmente dependente ou independente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre combinação linear e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente ou independente. Um conjunto é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se só tem a solução .
Por outro lado, se existir pelo menos uma combinação não trivial (com algum diferente de zero) que dá o vetor zero, o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos polinômios:
Substituindo os polinômios:

Passo 4

Agora, vamos expandir e juntar os termos semelhantes:
Para essa igualdade ser verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
  1. (coeficiente de )
  2. (coeficiente de )
  3. (coeficiente de )
  4. (coeficiente de )
  5. (termo constante)

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Da terceira equação:
  4. Da quarta equação: (já satisfeita)
  5. Da quinta equação: (já satisfeita)

Resposta

Como a única solução para o sistema é , concluímos que os vetores são linearmente independentes.

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Sejam e
b) Os vetores e são LI ou LD?
Considere dois vetores e no espaço tridimensional, onde e .
Mostre que o módulo do produto vetorial de e é igual à área do paralelogramo formado por eles.
Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de abaixo descritos:
c) matrizes em que os elementos da segunda linha é igual aos elementos da terceira coluna.
Em cada item, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta.
a) gera .