Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de M3 times 3 abaixo descritos:
c) matrizes em que os elementos da segunda linha é igual aos elementos da terceira coluna.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos uma base e determinar a dimensão de um conjunto específico de matrizes de tamanho 3 times 3. O conjunto em questão contém todas as matrizes onde os elementos da segunda linha são iguais aos elementos da terceira coluna. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, subespaços e bases. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são essas matrizes. Uma matriz A de 3 times 3 tem a seguinte forma:
A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33
De acordo com o enunciado, os elementos da segunda linha ( a21, a22, a23) devem ser iguais aos elementos da terceira coluna ( a13, a23, a33). Então, temos as seguintes igualdades:
a21 = a13 a22 = a23 a23 = a33

Passo 3

Vamos reorganizar essas igualdades para expressar alguns elementos em termos de outros:
  1. a21 = a13
  2. a22 = a23
  3. Como a22 = a23 e a23 = a33, então a22 = a33
Assim, podemos expressar a21, a22, a23 em função de a13 e a33.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a matriz A usando essas relações:
A = a11 & a12 & a13 a13 & a33 & a33 a31 & a32 & a33
Aqui, os elementos a11, a12, a13, a31, a32, a33 são livres para serem escolhidos, ou seja, podem assumir qualquer valor real.

Passo 5

Para encontrar uma base desse subespaço, precisamos identificar matrizes que “geram” todas as possíveis matrizes que satisfazem as condições dadas e que são linearmente independentes.
Vamos atribuir valores 1 a um elemento livre de cada vez e 0 aos demais, mantendo as condições que estabelecemos. Assim, teremos as seguintes matrizes base:
  1. Matriz com a11=1:
1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
  1. Matriz com a12=1:
0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
  1. Matriz com a13=1:
0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0
  1. Matriz com a31=1:
0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0
  1. Matriz com a32=1:
0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0
  1. Matriz com a33=1:
0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1

Resposta

A base do subespaço é formada pelas seguintes 6 matrizes:
1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 , 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 , 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1
A dimensão desse subespaço é 6.

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