Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de abaixo descritos:
c) matrizes em que os elementos da segunda linha é igual aos elementos da terceira coluna.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos uma base e determinar a dimensão de um conjunto específico de matrizes de tamanho . O conjunto em questão contém todas as matrizes onde os elementos da segunda linha são iguais aos elementos da terceira coluna. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, subespaços e bases. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são essas matrizes. Uma matriz de tem a seguinte forma:
De acordo com o enunciado, os elementos da segunda linha () devem ser iguais aos elementos da terceira coluna (). Então, temos as seguintes igualdades:
Passo 3
Vamos reorganizar essas igualdades para expressar alguns elementos em termos de outros:
Como e , então
Assim, podemos expressar em função de e .
Passo 4
Agora, vamos reescrever a matriz usando essas relações:
Aqui, os elementos são livres para serem escolhidos, ou seja, podem assumir qualquer valor real.
Passo 5
Para encontrar uma base desse subespaço, precisamos identificar matrizes que “geram” todas as possíveis matrizes que satisfazem as condições dadas e que são linearmente independentes.
Vamos atribuir valores 1 a um elemento livre de cada vez e 0 aos demais, mantendo as condições que estabelecemos. Assim, teremos as seguintes matrizes base:
Matriz com :
Matriz com :
Matriz com :
Matriz com :
Matriz com :
Matriz com :
Resposta
A base do subespaço é formada pelas seguintes 6 matrizes: