Em cada item, determine a área da região delimitada pelos gráficos das curvas.
(b)
e
.
(b)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos encontrar a área da região limitada pelas curvas
,
,
e
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre como calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas para entender melhor a região que estamos analisando. A curva
é uma função que envolve uma raiz quadrada, o que nos indica que o domínio dela está restrito onde
, ou seja,
. Porém, como estamos considerando
e
, nosso intervalo de interesse é de 0 a 2.
Passo 3
Para encontrar a área entre essas curvas, usamos a integral definida. A fórmula geral para a área
entre duas curvas
e
de
a
é:
No nosso caso,
(porque temos a linha
) e
.
Passo 4
Substituindo na fórmula da integral, temos:
Agora, precisamos calcular essa integral para encontrar a área.
Passo 5
Para resolver a integral
, podemos usar uma substituição. Vamos deixar:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, calculamos a integral
. Sabemos que:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 8
Agora, substituímos os limites de integração:
Sabemos que
, então:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.