Em cada item, determine a área da região delimitada pelos gráficos das curvas.
(b) y = x * raiz(4 - x^2), x = 0, x = 2 e y = 0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos encontrar a área da região limitada pelas curvas , , e . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre como calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas para entender melhor a região que estamos analisando. A curva é uma função que envolve uma raiz quadrada, o que nos indica que o domínio dela está restrito onde , ou seja, . Porém, como estamos considerando e , nosso intervalo de interesse é de 0 a 2.

Passo 3

Para encontrar a área entre essas curvas, usamos a integral definida. A fórmula geral para a área entre duas curvas e de a é:
No nosso caso, (porque temos a linha ) e .

Passo 4

Substituindo na fórmula da integral, temos:
Agora, precisamos calcular essa integral para encontrar a área.

Passo 5

Para resolver a integral , podemos usar uma substituição. Vamos deixar:
Então, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 6

Substituindo e na integral original:
Simplificando:

Passo 7

Agora, calculamos a integral . Sabemos que:
Aplicando isso na nossa integral:

Passo 8

Agora, substituímos os limites de integração:
Sabemos que , então:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

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