Seja R a região limitada do plano, que é delimitada pelos gráficos das curvas y = x^3 e y = x, consideradas para valores x >= 0.
Calcule o volume do sólido obtido ao girar a região R em torno da reta y = -2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o volume de um sólido formado ao girar uma região R em torno da reta . A região R é delimitada pelas curvas e para valores de . Vamos precisar usar cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R. As curvas e se encontram quando . Resolvendo isso:
Como estamos considerando , a interseção acontece em e . Então, a região R está entre e .

Passo 3

Agora, para calcular o volume ao girar essa região em torno da reta , vamos usar o método dos anéis (ou washers). Esse método envolve integrar a diferença entre os quadrados dos raios externo e interno, multiplicado por .

Passo 4

Precisamos determinar os raios externo e interno. O raio externo é a distância da curva mais acima até a reta de rotação, e o raio interno é a distância da curva mais abaixo até a reta de rotação.
Para :
Para :

Passo 5

Agora, a fórmula para o volume será:

Passo 6

Vamos expandir os termos dentro da integral:
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:

Passo 8

Avaliando de 0 a 1:
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido é .

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