Seja R a região limitada do plano, que é delimitada pelos gráficos das curvas
, consideradas para valores
.
Calcule o volume do sólido obtido ao girar a região R em torno da reta
Calcule o volume do sólido obtido ao girar a região R em torno da reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o volume de um sólido formado ao girar uma região R em torno da reta
. A região R é delimitada pelas curvas
e
para valores de
. Vamos precisar usar cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região R. As curvas
e
se encontram quando
. Resolvendo isso:
Como estamos considerando
, a interseção acontece em
e
. Então, a região R está entre
e
.
Passo 3
Agora, para calcular o volume ao girar essa região em torno da reta
, vamos usar o método dos anéis (ou washers). Esse método envolve integrar a diferença entre os quadrados dos raios externo e interno, multiplicado por
.
Passo 4
Precisamos determinar os raios externo e interno. O raio externo é a distância da curva mais acima até a reta de rotação, e o raio interno é a distância da curva mais abaixo até a reta de rotação.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, a fórmula para o volume
será:
Passo 6
Vamos expandir os termos dentro da integral:
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Passo 8
Avaliando de 0 a 1:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido é
.