Em cada item, determine a área da região R.
© R = {(x, y) em R^2 : 0 <= y <= x * raiz(3)(2 - x)}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região definida por . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrando a função que delimita a região. Vamos precisar identificar os limites de integração e configurar a integral corretamente para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de . A região está definida para valores de onde a função é válida e . Vamos encontrar os valores de onde :
Isso acontece quando ou quando . A segunda equação dá , ou seja, . Então, os limites de são de 0 a 2.

Passo 3

Agora que sabemos que varia de 0 a 2, vamos configurar a integral para encontrar a área da região . A área entre a curva e o eixo de a é dada por:
No nosso caso, , e . Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos simplificar a integral. Primeiro, reescrevemos como . Assim, a integral fica:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos deixar:
Quando , , e quando , . Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 6

Calculando as integrais:
  1. Para :
  1. Para :
Substituindo de volta na expressão para :

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
  1. Para de 0 a 2:
  1. Para de 0 a 2:
Substituindo de volta:

Passo 8

Podemos fatorar para simplificar:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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