Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região definida por . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrando a função que delimita a região. Vamos precisar identificar os limites de integração e configurar a integral corretamente para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de . A região está definida para valores de onde a função é válida e . Vamos encontrar os valores de onde :
Isso acontece quando ou quando . A segunda equação dá , ou seja, . Então, os limites de são de 0 a 2.
Passo 3
Agora que sabemos que varia de 0 a 2, vamos configurar a integral para encontrar a área da região . A área entre a curva e o eixo de a é dada por:
No nosso caso, , e . Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos simplificar a integral. Primeiro, reescrevemos como . Assim, a integral fica:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos deixar:
Quando , , e quando , . Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 6
Calculando as integrais:
Para :
Para :
Substituindo de volta na expressão para :
Passo 7
Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração: