Calcule integral2^3(-x^2+pi) d x usando a Definição de Integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de no intervalo de 2 a 3. Isso está relacionado ao Cálculo Integral, mais especificamente à Definição de Integral. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a antiderivada da função e depois aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada da função F(x) = -x^33 + pi x + C . A antiderivada é uma função cuja derivada nos dá a função original. Para cada termo da função, usamos as regras básicas de antiderivação:
  • A antiderivada de é , porque a derivada de é .
  • A antiderivada de (que é uma constante) é , já que a derivada de é .
Então, a antiderivada de é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.

Passo 3

Agora que temos a antiderivada, aplicamos os limites de integração de 2 a 3. Isso significa que vamos calcular integral2^3 (-x^2 + pi) , dx = F(3) - F(2) e , e então subtrair de :

Passo 4

Vamos calcular F(3) = -3^33 + pi times 3 = -273 + 3pi = -9 + 3pi :

Passo 5

Agora, vamos calcular F(2) = -2^33 + pi times 2 = -83 + 2pi :

Passo 6

Subtraindo F(3) - F(2) = (-9 + 3pi) - (-83 + 2pi) = -9 + 3pi + 83 - 2pi de :

Passo 7

Vamos simplificar os termos:
-9 + 83 = -273 + 83 = -193
3pi - 2pi = pi
Então,
F(3) - F(2) = -193 + pi

Resposta

Portanto, o valor da integral definida é:
pi - 193

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