Resolva as seguintes equaçöes de
ordem:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
O objetivo é resolver essa equação, ou seja, encontrar uma relação entre
e
que satisfaça a equação. Para isso, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata.
Passo 2
Vamos identificar as funções que multiplicam
e
:
Uma equação diferencial na forma
é exata se satisfizer:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que dependa somente de
ou somente de
. Vamos calcular a seguinte expressão para verificar:
Como o resultado é uma constante (
), o fator integrante
é uma função de
que satisfaz:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Agora, a equação resultante é exata.
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Integramos
em relação a
para encontrar
:
Onde
é uma função de
que será determinada.
Passo 7
Para encontrar
, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos, vemos que
, então
é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.