Resolva as seguintes equaçöes de 13 ordem: (x^2 + y^2) dx + (x^3 + 3xy^2 + 2xy) dy = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
O objetivo é resolver essa equação, ou seja, encontrar uma relação entre e que satisfaça a equação. Para isso, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata.

Passo 2

Vamos identificar as funções que multiplicam e :
Uma equação diferencial na forma é exata se satisfizer:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que dependa somente de ou somente de . Vamos calcular a seguinte expressão para verificar:
Como o resultado é uma constante ( ), o fator integrante é uma função de que satisfaz:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Agora, a equação resultante é exata.

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que:
Integramos em relação a para encontrar :
Onde é uma função de que será determinada.

Passo 7

Para encontrar , diferenciamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos, vemos que , então é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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