Resolva as seguintes equaçöes de 13 ordem: dx + (x/y - sen(y)) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é da primeira ordem:
Para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares. Precisaremos identificar a estrutura da equação e aplicar um fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, representa a derivada de em relação a , e a equação está na forma , onde e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto em relação a :

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para a integral do lado direito, usamos integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):
Então, temos:

Passo 5

Finalmente, isolamos para encontrar a solução geral da equação:
Podemos reescrever de forma mais organizada:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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