Resolva as seguintes equaçöes de
ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é da primeira ordem:
Para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares. Precisaremos identificar a estrutura da equação e aplicar um fator integrante para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, e a equação está na forma
, onde
e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
em relação a
:
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para a integral do lado direito, usamos integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Então, temos:
Passo 5
Finalmente, isolamos
para encontrar a solução geral da equação:
Podemos reescrever de forma mais organizada:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Em cada item, determine a área da região
.
© .
©
Seja R a região limitada do plano, que é delimitada pelos gráficos das curvas
, consideradas para valores
.
Calcule o volume do sólido obtido ao girar a região R em torno da reta
Calcule o volume do sólido obtido ao girar a região R em torno da reta
Seja
a região limitada pelas curvas
e
. Encontre
de modo que a área da região limitada por
e
seja 64 vezes menor que a área da região
.
Determine o valor da constante
para a qual a equação
é exata. Resolva a equação com esse valor de
.