Em cada item, determine a área da superfície descrita.
A parte da superfície
que está acima do triângulo com vértices
e
.
A parte da superfície
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a área da parte da superfície
que está acima de um triângulo com vértices em (0,0), (0,1) e (2,1). Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais duplas para encontrar a área da superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região sobre a qual vamos calcular a área. O triângulo com vértices em (0,0), (0,1) e (2,1) está no plano xy. Vamos desenhar esse triângulo para visualizar melhor os limites de integração.
Passo 3
A área da superfície
sobre uma região
no plano xy é dada pela fórmula:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais da função
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula da área:
Passo 6
Agora, vamos definir os limites de integração. Observando o triângulo:
-
varia de 0 a 2. - Para cada
, varia de 0 a 1.
Então, nossa integral dupla fica:
Passo 7
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica ou a fórmula de integração para
. De forma simplificada, a integral de
em relação a
é:
Avaliada de 0 a 1, temos:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A área da superfície é:
Exercícios relacionados
(a) Find the solution of the given initial value problem in explicit form.
(b) Plot the graph of the solution.
© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.
(b) Plot the graph of the solution.
© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.
(a) Find the solution of the given initial value problem in explicit form.
(b) Plot the graph of the solution.
© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.
(b) Plot the graph of the solution.
© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.
Cálcule a integral de superfície.
, onde
é a região triângular com vértices
e
.
Cálcule a integral de superfície.
, onde
é a parte do cilindro
que está entre os planos
e
no primeiro octante.