Em cada item, determine a área da superfície descrita.
A parte da superfície z = 1 + 2 * raiz(2) * x + raiz(7) / 2 * y^2 que está acima do triângulo com vértices (0,0), (0,1) e (2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a área da parte da superfície que está acima de um triângulo com vértices em (0,0), (0,1) e (2,1). Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais duplas para encontrar a área da superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região sobre a qual vamos calcular a área. O triângulo com vértices em (0,0), (0,1) e (2,1) está no plano xy. Vamos desenhar esse triângulo para visualizar melhor os limites de integração.

Passo 3

A área da superfície sobre uma região no plano xy é dada pela fórmula:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais da função :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula da área:

Passo 6

Agora, vamos definir os limites de integração. Observando o triângulo:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 a 1.
Então, nossa integral dupla fica:

Passo 7

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica ou a fórmula de integração para . De forma simplificada, a integral de em relação a é:
Avaliada de 0 a 1, temos:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :

Resposta

A área da superfície é:
á

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