Em cada item, determine a área da superfície descrita.
A parte da superfície
que está acima do triângulo com vértices
e
.
A parte da superfície
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a área da parte da superfície
que está acima de um triângulo com vértices em (0,0), (0,1) e (2,1). Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais duplas para encontrar a área da superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região sobre a qual vamos calcular a área. O triângulo com vértices em (0,0), (0,1) e (2,1) está no plano xy. Vamos desenhar esse triângulo para visualizar melhor os limites de integração.
Passo 3
A área da superfície
sobre uma região
no plano xy é dada pela fórmula:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais da função
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula da área:
Passo 6
Agora, vamos definir os limites de integração. Observando o triângulo:
-
varia de 0 a 2. - Para cada
, varia de 0 a 1.
Então, nossa integral dupla fica:
Passo 7
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica ou a fórmula de integração para
. De forma simplificada, a integral de
em relação a
é:
Avaliada de 0 a 1, temos:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A área da superfície é: