(a) Find the solution of the given initial value problem in explicit form.
(b) Plot the graph of the solution.
© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos pede para resolver uma Problema de Valor Inicial envolvendo uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem. Precisamos encontrar a solução explícita da EDO, plotar o gráfico dessa solução e determinar, pelo menos aproximadamente, o intervalo em que essa solução está definida. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Aqui, representa a derivada de em relação a . Nosso objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa equação e a condição inicial .

Passo 3

Vamos reescrever a equação para torná-la mais fácil de resolver. Multiplicamos ambos os lados por :
Isso ajuda a simplificar a equação para uma forma que podemos integrar.

Passo 4

Agora, fazemos uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a será:
Substituindo na equação, temos:
Isso nos leva a:

Passo 5

Agora, reescrevemos a equação para facilitar a integração:
Integrando ambos os lados em relação a , obtemos:
Multiplicando por 2:
Onde é uma constante de integração.

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta:
Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar .

Passo 7

Substituindo e :
Então, a equação fica:

Passo 8

Resolvendo para :
Essa é a solução explícita da EDO dada.

Passo 9

Agora, para a parte (b), precisamos plotar o gráfico dessa função. Isso envolve escolher valores de dentro do intervalo onde a expressão dentro da raiz quadrada é positiva, garantindo que seja real.

Passo 10

Por fim, na parte ©, vamos determinar o intervalo em que a solução está definida. A expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior que zero:
Usando a propriedade , temos:
Calculando o valor inverso:
Então, o intervalo onde a solução está definida é aproximadamente .

Resposta

A solução explícita do problema de valor inicial é:
O gráfico dessa solução é uma curva definida para no intervalo aproximadamente .

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Determine uma equação do plano tangente à superfícies parametrizada por
no ponto
Use o roteiro para esboçar a curva .
10. Esboço da curva
(a) Find the solution of the given initial value problem in explicit form.
(b) Plot the graph of the solution.
© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.
Em cada item, determine a área da superfície descrita.
A parte da superfície que está acima do triângulo com vértices e .