(a) Find the solution of the given initial value problem in explicit form.
(b) Plot the graph of the solution.
© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.
(b) Plot the graph of the solution.
© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos pede para resolver uma Problema de Valor Inicial envolvendo uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem. Precisamos encontrar a solução explícita da EDO, plotar o gráfico dessa solução e determinar, pelo menos aproximadamente, o intervalo em que essa solução está definida. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Nosso objetivo é encontrar uma função
que satisfaça essa equação e a condição inicial
.
Passo 3
Vamos reescrever a equação para torná-la mais fácil de resolver. Multiplicamos ambos os lados por
:
Isso ajuda a simplificar a equação para uma forma que podemos integrar.
Passo 4
Agora, fazemos uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
será:
Substituindo na equação, temos:
Isso nos leva a:
Passo 5
Agora, reescrevemos a equação para facilitar a integração:
Integrando ambos os lados em relação a
, obtemos:
Multiplicando por 2:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta:
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar
.
Passo 7
Substituindo
e
:
Então, a equação fica:
Passo 8
Resolvendo para
:
Essa é a solução explícita da EDO dada.
Passo 9
Agora, para a parte (b), precisamos plotar o gráfico dessa função. Isso envolve escolher valores de
dentro do intervalo onde a expressão dentro da raiz quadrada é positiva, garantindo que
seja real.
Passo 10
Por fim, na parte ©, vamos determinar o intervalo em que a solução está definida. A expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior que zero:
Usando a propriedade
, temos:
Calculando o valor inverso:
Então, o intervalo onde a solução está definida é aproximadamente
.
Resposta
A solução explícita do problema de valor inicial é:
O gráfico dessa solução é uma curva definida para
no intervalo aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Determine uma equação do plano tangente à superfícies parametrizada por
no ponto
Use o roteiro para esboçar a curva
.
10. Esboço da curva
10. Esboço da curva
(a) Find the solution of the given initial value problem in explicit form.
(b) Plot the graph of the solution.
© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.
(b) Plot the graph of the solution.
© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.
Em cada item, determine a área da superfície descrita.
A parte da superfície que está acima do triângulo com vértices
e
.
A parte da superfície