(a) Find the solution of the given initial value problem in explicit form.
(b) Plot the graph of the solution.
© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.
(b) Plot the graph of the solution.
© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. O enunciado é:
Vamos precisar usar cálculo integral e entender um pouco sobre equações diferenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial. Ela está em termos de
e
, então a ideia é separar as variáveis
e
para podermos integrar dos dois lados.
Então, podemos reescrever a equação assim:
Passo 3
Vamos separar as variáveis colocando todas as expressões com
de um lado e com
do outro:
Isso facilita para a gente integrar cada lado separadamente.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação.
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito, vamos resolver:
Aqui, podemos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
. Então, a integral vira:
Passo 5
Juntando as integrais que calculamos:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar a constante
.
Quando
:
Passo 7
Substituindo o valor de
na equação geral:
Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:
Passo 8
Agora, isolamos
para ter a solução explícita:
Resposta
A solução explícita do problema de valor inicial é:
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(a) Find the solution of the given initial value problem in explicit form.
(b) Plot the graph of the solution.
© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.
(b) Plot the graph of the solution.
© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.
Determine uma equação do plano tangente à superfícies parametrizada por
no ponto
Em cada item, determine a área da superfície descrita.
A parte da superfície que está acima do triângulo com vértices
e
.
A parte da superfície
Cálcule a integral de superfície.
, onde
é a região triângular com vértices
e
.