(a) Find the solution of the given initial value problem in explicit form.
(b) Plot the graph of the solution.
© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. O enunciado é:
Vamos precisar usar cálculo integral e entender um pouco sobre equações diferenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial. Ela está em termos de e , então a ideia é separar as variáveis e para podermos integrar dos dois lados.
Então, podemos reescrever a equação assim:

Passo 3

Vamos separar as variáveis colocando todas as expressões com de um lado e com do outro:
Isso facilita para a gente integrar cada lado separadamente.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação.
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito, vamos resolver:
Aqui, podemos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então . Então, a integral vira:

Passo 5

Juntando as integrais que calculamos:
Onde é uma constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante .
Quando :

Passo 7

Substituindo o valor de na equação geral:
Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:

Passo 8

Agora, isolamos para ter a solução explícita:

Resposta

A solução explícita do problema de valor inicial é:

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(a) Find the solution of the given initial value problem in explicit form.
(b) Plot the graph of the solution.
© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.
Determine uma equação do plano tangente à superfícies parametrizada por
no ponto
Em cada item, determine a área da superfície descrita.
A parte da superfície que está acima do triângulo com vértices e .
Cálcule a integral de superfície.
, onde é a região triângular com vértices e .