Cálcule a integral de superfície.
, onde é a região triângular com vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície! A gente precisa calcular , onde é um triângulo no espaço com vértices em , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o triângulo . Escolhemos um ponto de base, por exemplo, . Agora, encontramos dois vetores que ligam esse ponto aos outros dois vértices:
  • Vetor
  • Vetor
Assim, qualquer ponto no triângulo pode ser descrito como:
onde , e .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o elemento de área . Para isso, encontramos as derivadas parciais da parametrização:
O próximo passo é calcular o produto vetorial dessas derivadas:
A magnitude desse vetor é:
Então, .

Passo 4

Agora, substituímos tudo na integral original:
Vamos resolver a integral dupla:
Integrando primeiro em :
Agora, a integral fica:

Resposta

Exercícios relacionados

Em cada item, determine a área da superfície descrita.
A parte da superfície que está acima do triângulo com vértices e .
(a) Find the solution of the given initial value problem in explicit form.
(b) Plot the graph of the solution.
© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.
Cálcule a integral de superfície.
, onde é a parte do cilindro que está entre os planos e no primeiro octante.
Calcule o fluxo de através da superfície em cada caso, ou seja calcule .
, onde é a parte do cone que está entre os planos e com orientação ascendente.