Cálcule a integral de superfície.
integral duplaT x d S, onde T é a região triângular com vértices (1,0,0),(0,-1,0) e (0,0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície! A gente precisa calcular integral duplaT x , dS, onde T é um triângulo no espaço com vértices em (1,0,0), (0,-1,0) e (0,0,2). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o triângulo T. Escolhemos um ponto de base, por exemplo, (1,0,0). Agora, encontramos dois vetores que ligam esse ponto aos outros dois vértices:
  • Vetor v1 = (0,-1,0) - (1,0,0) = (-1,-1,0)
  • Vetor v2 = (0,0,2) - (1,0,0) = (-1,0,2)
Assim, qualquer ponto no triângulo pode ser descrito como:
r(u,v) = (1,0,0) + u(-1,-1,0) + v(-1,0,2) = (1 - u - v, -u, 2v)
onde u >= 0, v >= 0 e u + v <= 1.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o elemento de área dS. Para isso, encontramos as derivadas parciais da parametrização:
ru = partial rpartial u = (-1,-1,0)
rv = partial rpartial v = (-1,0,2)
O próximo passo é calcular o produto vetorial dessas derivadas:
ru times rv = i & j & k -1 & -1 & 0 -1 & 0 &2 = (-2, 2, -1)
A magnitude desse vetor é:
|ru times rv| = raiz(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz4 + 4 + 1 = 3
Então, dS = 3 , du , dv.

Passo 4

Agora, substituímos tudo na integral original:
integral duplaT x , dS = integral duplau+v <= 1 (1 - u - v) cdot 3 , du , dv = 3 integral duplau+v <= 1 (1 - u - v) , du , dv
Vamos resolver a integral dupla:
3 integral0^1 integral0^1 - u (1 - u - v) , dv , du
Integrando primeiro em v:
integral0^1 - u (1 - u - v) , dv = [(1 - u)v - v^22]0^1 - u = (1 - u)^22
Agora, a integral fica:
3 integral0^1 (1 - u)^22 , du = 32 integral0^1 (1 - 2u + u^2) , du = 32 [ u - u^2 + u^33 ]0^1 = 32 cdot 13 = 12

Resposta

12

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