Cálcule a integral de superfície.
, onde é a parte do cilindro que está entre os planos e no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O problema pede para calcular a integral de superfície de , onde é a parte do cilindro entre os planos e no primeiro octante. Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies e cálculo de integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria do problema. O cilindro é um cilindro circular com raio 1, estendendo-se ao longo do eixo . Como estamos no primeiro octante, consideramos apenas , e positivos. Os limites de vão de 0 a 3.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície do cilindro. Podemos usar um parâmetro angular para representar a circunferência no - plano. Assim, temos:
Aqui, varia de 0 a 3 e varia de 0 a para cobrir apenas o primeiro octante.

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o elemento de área diferencial . Para isso, encontramos os vetores tangentes à superfície:
O produto vetorial desses vetores é:
A magnitude desse produto é:
Então, .
Agora, substituímos na integral:
Sabemos que , então a integral simplifica para:

Passo 5

Finalmente, resolvemos a integral em :

Resposta

A integral de superfície é igual a .

Exercícios relacionados

Cálcule a integral de superfície.
, onde é a região triângular com vértices e .
Em cada item, determine a área da superfície descrita.
A parte da superfície que está acima do triângulo com vértices e .
Calcule o fluxo de através da superfície em cada caso, ou seja calcule .
, onde é a parte do cone que está entre os planos e com orientação ascendente.
Calcule o fluxo de através da superfície em cada caso, ou seja calcule .
, onde é uma esfera de raio com orientação positiva.