Cálcule a integral de superfície. , onde é a parte do cilindro que está entre os planos e no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O problema pede para calcular a integral de superfície de , onde é a parte do cilindro entre os planos e no primeiro octante. Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies e cálculo de integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria do problema. O cilindro é um cilindro circular com raio 1, estendendo-se ao longo do eixo . Como estamos no primeiro octante, consideramos apenas , e positivos. Os limites de vão de 0 a 3.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície do cilindro. Podemos usar um parâmetro angular para representar a circunferência no - plano. Assim, temos:
Aqui, varia de 0 a 3 e varia de 0 a para cobrir apenas o primeiro octante.
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular o elemento de área diferencial . Para isso, encontramos os vetores tangentes à superfície: