Cálcule a integral de superfície.
integral duplaC(x^2+y^2+z^2) d S, onde C é a parte do cilindro y^2+z^2=1 que está entre os planos x=0 e x=3 no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O problema pede para calcular a integral de superfície de , onde é a parte do cilindro entre os planos e no primeiro octante. Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies e cálculo de integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria do problema. O cilindro é um cilindro circular com raio 1, estendendo-se ao longo do eixo . Como estamos no primeiro octante, consideramos apenas , e positivos. Os limites de vão de 0 a 3.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície do cilindro. Podemos usar um parâmetro angular x = x y = costheta z = sintheta para representar a circunferência no - plano. Assim, temos:
Aqui, varia de 0 a 3 e varia de 0 a para cobrir apenas o primeiro octante.

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o elemento de área diferencial rx = (1, 0, 0) . Para isso, encontramos os vetores tangentes à superfície:
rtheta = (0, -sintheta, costheta)
rx times rtheta = (0, -costheta, -sintheta)
O produto vetorial desses vetores é:
|rx times rtheta| = raiz0^2 + (-costheta)^2 + (-sintheta)^2 = raizcos^2theta + sin^2theta = 1
A magnitude desse produto é:
integral duplaC(x^2+y^2+z^2) dS = integral0^3 integral0^pi2 (x^2 + cos^2theta + sin^2theta) dtheta , dx
Então, integral0^3 integral0^pi2 (x^2 + 1) dtheta , dx = integral0^3 (x^2 + 1) cdot pi2 , dx .
Agora, substituímos na integral:
Sabemos que , então a integral simplifica para:

Passo 5

Finalmente, resolvemos a integral em pi2 integral0^3 (x^2 + 1) dx = pi2 [ x^33 + x ]0^3 = pi2 ( 273 + 3 ) = pi2 (9 + 3) = pi2 times 12 = 6pi :

Resposta

A integral de superfície é igual a .

Exercícios relacionados