Em cada item, determine se o conjunto é linearmente independente (li.) ou linearmente dependente (l.d.). No caso l.i., estenda o conjunto de forma a obter uma base do espaço correspondente. No caso l.d., remova vetores do conjunto de forma a obter um conjunto li. com o máximo possível de vetores.
(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9) em R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificarmos se o conjunto de vetores (1,2,3),(4,5,6),(7,8,9) em R^3 é linearmente independente (li.) ou dependente (l.d.). Se for independente, precisamos estender o conjunto para formar uma base do espaço. Se for dependente, vamos remover vetores até ficar com o maior conjunto possível que seja independente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Basicamente, vetores são independentes se nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Para verificar isso, montamos uma matriz com esses vetores e calculamos seu determinante.

Passo 3

Organizando os vetores em uma matriz assim:
A = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes. Se for zero, eles são dependentes.

Passo 5

Calculando o determinante:
det(A) = 1 cdot (5 cdot 9 - 6 cdot 8) - 2 cdot (4 cdot 9 - 6 cdot 7) + 3 cdot (4 cdot 8 - 5 cdot 7)
Simplificando:
det(A) = 1 cdot (45 - 48) - 2 cdot (36 - 42) + 3 cdot (32 - 35) det(A) = 1 cdot (-3) - 2 cdot (-6) + 3 cdot (-3) det(A) = -3 + 12 - 9 det(A) = 0

Passo 6

O determinante deu zero, então os vetores são linearmente dependentes (l.d.). Isso significa que pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação dos outros.

Passo 7

Agora, vamos remover vetores para deixar o conjunto o mais independente possível. Vamos verificar qual vetor pode ser escrito como combinação dos outros.
Observamos que:
7 = 1 cdot 4 + 3
Mas uma forma mais adequada é considerar combinações lineares. De qualquer forma, já sabemos que o conjunto original é dependente, então removemos um vetor.

Passo 8

Vamos remover o terceiro vetor (7,8,9). Agora, temos:
(1,2,3), (4,5,6)

Passo 9

Vamos verificar se esse novo conjunto é linearmente independente. Montamos uma matriz 2x3 e verificamos se as linhas são proporcional.
Calculando:
41 = 4 52 = 2.5 63 = 2
Como as razões não são iguais, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto (1,2,3),(4,5,6),(7,8,9) é linearmente dependente. Removendo o vetor (7,8,9), obtemos um conjunto linearmente independente: (1,2,3), (4,5,6).

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