Considere a pirâmide ABCDE cuja base ABCD é um quadrado de lado 12 m e cada aresta lateral mede 12 m . Suponha que o centro do quadrado A B C D seja a origem O(0,0,0) do sistema de coordenadas e que o ponto A esteja sobre o eixo x positivo. Calcule o volume da pirâmide.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma pirâmide chamada ABCDE, onde a base ABCD é um quadrado com lados de 12 metros. Cada aresta lateral (as que ligam a base ao vértice E) também mede 12 metros. O centro desse quadrado está na origem do sistema de coordenadas, o ponto O(0,0,0), e o ponto A está alinhado com o eixo x positivo. Nosso objetivo aqui é calcular o volume dessa pirâmide. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria espacial, especialmente como calcular o volume de uma pirâmide.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o volume V = 13 times Área da Base times A de uma pirâmide é dado pela fórmula:
Á
Então, nosso primeiro passo é calcular a área da base da pirâmide.

Passo 3

A base da pirâmide é um quadrado com lado de 12 metros. A área A = lado times lado = 12,m times 12,m = 144,m² de um quadrado é dada por:
²

Passo 4

Agora, precisamos descobrir a altura da pirâmide, que é a distância do vértice E até a base ABCD. Sabemos que cada aresta lateral mede 12 metros. Para encontrar a altura, podemos usar o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura, a linha do centro da base até um vértice e a aresta lateral.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar a distância do centro da base d = lado times raiz2 = 12,m times raiz2 = 12raiz2,m até um dos vértices, por exemplo, o ponto A. Como a base é um quadrado, a diagonal d2 = 12raiz2,m2 = 6raiz2,m pode ser calculada por:
A distância do centro até um vértice é metade da diagonal:

Passo 6

Agora, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura h^2 + (6raiz2,m)^2 = (12,m)^2 , a distância do centro h^2 + 72,m² = 144,m² até A (que é h^2 = 144,m² - 72,m² = 72,m² ) e a aresta lateral de 12 metros, temos:
h = raiz72,m² = 6raiz2,m
²²
²²²
²

Passo 7

Agora que temos a área da base V = 13 times 144,m² times 6raiz2,m ² e a altura V = 13 times 864raiz2,m³ , podemos calcular o volume da pirâmide usando a fórmula mencionada no Passo 2:
V = 288raiz2,m³ ²
³
³

Resposta

O volume da pirâmide ABCDE é ³.

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