Considere a pirâmide ABCDE cuja base ABCD é um quadrado de lado
e cada aresta lateral mede 12 m . Suponha que o centro do quadrado
seja a origem
do sistema de coordenadas e que o ponto A esteja sobre o eixo
positivo. Calcule o volume da pirâmide.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma pirâmide chamada ABCDE, onde a base ABCD é um quadrado com lados de 12 metros. Cada aresta lateral (as que ligam a base ao vértice E) também mede 12 metros. O centro desse quadrado está na origem do sistema de coordenadas, o ponto O(0,0,0), e o ponto A está alinhado com o eixo x positivo. Nosso objetivo aqui é calcular o volume dessa pirâmide. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria espacial, especialmente como calcular o volume de uma pirâmide.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o volume
de uma pirâmide é dado pela fórmula:
Então, nosso primeiro passo é calcular a área da base da pirâmide.
Passo 3
A base da pirâmide é um quadrado com lado de 12 metros. A área
de um quadrado é dada por:
Passo 4
Agora, precisamos descobrir a altura
da pirâmide, que é a distância do vértice E até a base ABCD. Sabemos que cada aresta lateral mede 12 metros. Para encontrar a altura, podemos usar o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura, a linha do centro da base até um vértice e a aresta lateral.
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar a distância do centro da base
até um dos vértices, por exemplo, o ponto A. Como a base é um quadrado, a diagonal
pode ser calculada por:
A distância do centro até um vértice é metade da diagonal:
Passo 6
Agora, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura
, a distância do centro
até A (que é
) e a aresta lateral de 12 metros, temos:
Passo 7
Agora que temos a área da base
e a altura
, podemos calcular o volume da pirâmide usando a fórmula mencionada no Passo 2:
Resposta
O volume da pirâmide ABCDE é
.