Considere a matriz .
Encontre uma base para o espaco coluna de A formada por vetores coluna de A.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a matriz de dimensão . A questão pede para encontrarmos uma base para o espaço coluna de usando os vetores coluna dessa própria matriz. Isso envolve conceitos de Álgebra Linear, especialmente sobre espaços vetoriais e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar identificar quais colunas de são linearmente independentes. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que uma base do espaço coluna de é um conjunto de colunas de que são lineares e que geram todo o espaço coluna. Para descobrir quais colunas fazem parte dessa base, vamos usar a técnica de redução por linhas para transformar a matriz em uma forma mais simples, conhecida como forma escalonada por linhas. Isso vai nos ajudar a identificar as colunas pivô, que correspondem às colunas que serão nossa base.
Passo 3
Vamos começar aplicando operações elementares nas linhas de A = 1 & 2 & 1 & 2 & 3 2 & 4 & 0 & 1 & 5 3 & 6 & 1 & 3 & 6 4 & 8 & 0 & 1 & 9 . O objetivo aqui é ter zeros abaixo dos elementos pivô (os primeiros elementos não nulos de cada linha). A matriz original é:
Primeiro, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro 1 (primeiro pivô) na primeira coluna.
Agora, vamos olhar para a segunda linha. O próximo pivô seria na segunda coluna, mas vemos que todos os elementos na segunda coluna são zero. Então, vamos para a próxima coluna que tem um elemento não nulo, que é a terceira coluna.
Vamos usar a segunda linha como pivô para a terceira coluna. Primeiro, vamos normalizar a segunda linha dividindo por -2: