Considere a matriz A=[lllll1 & 2 & 1 & 2 & 3 2 & 4 & 0 & 1 & 5 3 & 6 & 1 & 3 & 6 4 & 8 & 0 & 1 & 9].
Encontre uma base para o espaco coluna de A formada por vetores coluna de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a matriz de dimensão . A questão pede para encontrarmos uma base para o espaço coluna de usando os vetores coluna dessa própria matriz. Isso envolve conceitos de Álgebra Linear, especialmente sobre espaços vetoriais e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar identificar quais colunas de são linearmente independentes. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que uma base do espaço coluna de é um conjunto de colunas de que são lineares e que geram todo o espaço coluna. Para descobrir quais colunas fazem parte dessa base, vamos usar a técnica de redução por linhas para transformar a matriz em uma forma mais simples, conhecida como forma escalonada por linhas. Isso vai nos ajudar a identificar as colunas pivô, que correspondem às colunas que serão nossa base.

Passo 3

Vamos começar aplicando operações elementares nas linhas de A = 1 & 2 & 1 & 2 & 3 2 & 4 & 0 & 1 & 5 3 & 6 & 1 & 3 & 6 4 & 8 & 0 & 1 & 9 . O objetivo aqui é ter zeros abaixo dos elementos pivô (os primeiros elementos não nulos de cada linha). A matriz original é:
Primeiro, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro 1 (primeiro pivô) na primeira coluna.

Passo 4

  • Linha 2: 1 & 2 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & -2 & -3 & -1 3 & 6 & 1 & 3 & 6 4 & 8 & 0 & 1 & 9
1 & 2 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & -2 & -3 & -1 0 & 0 & -2 & -3 & -3 4 & 8 & 0 & 1 & 9
  • Linha 3: A = 1 & 2 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & -2 & -3 & -1 0 & 0 & -2 & -3 & -3 0 & 0 & -4 & -7 & -3
  • Linha 4:

Passo 5

Agora, vamos olhar para a segunda linha. O próximo pivô seria na segunda coluna, mas vemos que todos os elementos na segunda coluna são zero. Então, vamos para a próxima coluna que tem um elemento não nulo, que é a terceira coluna.
Vamos usar a segunda linha como pivô para a terceira coluna. Primeiro, vamos normalizar a segunda linha dividindo por -2:
Linha 2 div (-2) Rightarrow 0 & 0 & 1 & 32 & 12
A matriz fica assim:
A = 1 & 2 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & 32 & 12 0 & 0 & -2 & -3 & -3 0 & 0 & -4 & -7 & -3
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na terceira coluna.
  • Linha 3: 1 & 2 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & 32 & 12 0 & 0 & 0 & 0 & -2 0 & 0 & -4 & -7 & -3
A = 1 & 2 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & 32 & 12 0 & 0 & 0 & 0 & -2 0 & 0 & 0 & -1 & -1
  • Linha 4:

Passo 6

Agora, olhamos para a quarta linha. O pivô aqui é o -1 na quarta coluna. Vamos normalizar essa linha dividindo por -1:
Linha 4 div (-1) Rightarrow 0 & 0 & 0 & 1 & 1
A matriz transformada fica:
A = 1 & 2 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & 32 & 12 0 & 0 & 0 & 0 & -2 0 & 0 & 0 & 1 & 1
Podemos ver que temos pivôs nas colunas 1, 3 e 4. As colunas com pivôs correspondem às colunas da matriz original que formam a base do espaço coluna.

Resposta

Uma base para o espaço coluna de 1 2 3 4 , 1 0 1 0 , 2 1 3 1 é formada pelas colunas 1, 3 e 4 de . Portanto, a base é:

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