Dados os pontos A(-1,-1), B(5,-7) e C(x, 2), determine x sabendo que 0 ponto C é equidistante dos pontos A e B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no plano cartesiano: A(-1, -1), B(5, -7) e C(x, 2). A questão pede para encontrar o valor de sabendo que o ponto C está equidistante dos pontos A e B. Isso significa que a distância de C até A é igual à distância de C até B. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e raiz(x - (-1))^2 + (2 - (-1))^2 = raiz(x - 5)^2 + (2 - (-7))^2 :
Como o ponto C está equidistante de A e B, podemos igualar as distâncias CA e CB:

Passo 3

Vamos simplificar os termos dentro das raízes:
Para raiz(x + 1)^2 + (3)^2 = raiz(x + 1)^2 + 9 :
raiz(x - 5)^2 + (9)^2 = raiz(x - 5)^2 + 81
Para raiz(x + 1)^2 + 9 = raiz(x - 5)^2 + 81 :
Então, temos:

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos eliminar as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:
(x + 1)^2 + 9 = (x - 5)^2 + 81

Passo 5

Agora, vamos expandir os quadrados:
(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1
(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25
Substituindo na equação:
x^2 + 2x + 1 + 9 = x^2 - 10x + 25 + 81

Passo 6

Vamos simplificar os termos:
x^2 + 2x + 10 = x^2 - 10x + 106
Agora, subtraímos 2x + 10 = -10x + 106 de ambos os lados:

Passo 7

Vamos resolver para 12x + 10 = 106 . Primeiro, somamos 12x = 96 em ambos os lados:
Em seguida, subtraímos 10 de ambos os lados:

Passo 8

Finalmente, dividimos ambos os lados por 12 para encontrar x = 9612 = 8 :

Resposta

O valor de que torna o ponto C equidistante dos pontos A e B é 8.

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