Considere a matriz A=[lllll1 & 2 & 1 & 2 & 3 2 & 4 & 0 & 1 & 5 3 & 6 & 1 & 3 & 6 4 & 8 & 0 & 1 & 9].
Encontre uma base para o espaço nulo de A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema é encontrar uma base para o espaço nulo da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de espaços vetoriais e sistemas lineares. Para isso, vamos precisar encontrar todos os vetores que satisfazem . Isso envolve resolver um sistema de equações lineares usando técnicas como a eliminação de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que corresponde à matriz A = 1 & 2 & 1 & 2 & 3 2 & 4 & 0 & 1 & 5 3 & 6 & 1 & 3 & 6 4 & 8 & 0 & 1 & 9 . A matriz x1 x2 x3 x4 x5 é:
1x1 + 2x2 + 1x3 + 2x4 + 3x5 = 0 2x1 + 4x2 + 0x3 + 1x4 + 5x5 = 0 3x1 + 6x2 + 1x3 + 3x4 + 6x5 = 0 4x1 + 8x2 + 0x3 + 1x4 + 9x5 = 0
E queremos resolver , onde . Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Agora, vamos simplificar esse sistema usando a eliminação de Gauss para trazer a matriz aumentada para a forma reduzida. A ideia é eliminar variáveis para encontrar relações entre elas.
Primeiro, observamos que a segunda linha é o dobro da primeira. Então, podemos subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar Linha 2 = Linha 2 - 2 times Linha 1 e 1 & 2 & 1 & 2 & 3 & | & 0 0 & 0 & -2 & -3 & -1 & | & 0 3 & 6 & 1 & 3 & 6 & | & 0 4 & 8 & 0 & 1 & 9 & | & 0 :
Isso nos dá:

Passo 4

Vamos continuar simplificando. Agora, eliminamos Linha 3 = Linha 3 - 3 times Linha 1 da terceira e quarta linhas usando a primeira linha.
Para a terceira linha:
Linha 4 = Linha 4 - 4 times Linha 1
E para a quarta linha:
1 & 2 & 1 & 2 & 3 & | & 0 0 & 0 & -2 & -3 & -1 & | & 0 0 & 0 & -2 & -3 & -3 & | & 0 0 & 0 & -4 & -7 & -3 & | & 0
Após essas operações, temos:

Passo 5

Agora, precisamos simplificar ainda mais. Vamos observar que a terceira linha é igual à segunda e quarta linha pode ser relacionada a elas.
Primeiro, subtraímos a segunda linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 2
Obtemos:
1 & 2 & 1 & 2 & 3 & | & 0 0 & 0 & -2 & -3 & -1 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 0 & 0 & -4 & -7 & -3 & | & 0
Depois, subtraímos 2 vezes a segunda linha da quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 - 2 times Linha 2
Isso nos dá:
1 & 2 & 1 & 2 & 3 & | & 0 0 & 0 & -2 & -3 & -1 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & | & 0

Passo 6

Agora, vamos organizar as equações resultantes:
  1. -2x5 = 0 implies x5 = 0
  2. -x4 = 0 implies x4 = 0
Vamos resolver da última equação para facilitar. Da equação 3:
Substituindo na equação 4:

Passo 7

Com -2x3 = 0 implies x3 = 0 , substituímos na equação 2:
x1 + 2x2 = 0 implies x1 = -2x2
Agora, voltamos para a primeira equação:

Passo 8

Até aqui, encontramos que:
x1 = -2x2, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0
Isso significa que o vetor x = x2 -2 1 0 0 0 depende apenas de . Podemos escrever:

Resposta

Uma base para o espaço nulo de -2 1 0 0 0 é o conjunto formado pelo vetor:

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