Considere a matriz .
Encontre uma base para o espaço nulo de A.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema é encontrar uma base para o espaço nulo da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de espaços vetoriais e sistemas lineares. Para isso, vamos precisar encontrar todos os vetores que satisfazem . Isso envolve resolver um sistema de equações lineares usando técnicas como a eliminação de Gauss.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que corresponde à matriz A = 1 & 2 & 1 & 2 & 3 2 & 4 & 0 & 1 & 5 3 & 6 & 1 & 3 & 6 4 & 8 & 0 & 1 & 9 . A matriz x1 x2 x3 x4 x5 é:
E queremos resolver , onde . Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Agora, vamos simplificar esse sistema usando a eliminação de Gauss para trazer a matriz aumentada para a forma reduzida. A ideia é eliminar variáveis para encontrar relações entre elas.
Primeiro, observamos que a segunda linha é o dobro da primeira. Então, podemos subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar Linha 2 = Linha 2 - 2 times Linha 1 e 1 & 2 & 1 & 2 & 3 & | & 0 0 & 0 & -2 & -3 & -1 & | & 0 3 & 6 & 1 & 3 & 6 & | & 0 4 & 8 & 0 & 1 & 9 & | & 0 :
Isso nos dá:
Passo 4
Vamos continuar simplificando. Agora, eliminamos Linha 3 = Linha 3 - 3 times Linha 1 da terceira e quarta linhas usando a primeira linha.