Em cada item, determine se o conjunto é linearmente independente (li.) ou linearmente dependente (l.d.). No caso l.i., estenda o conjunto de forma a obter uma base do espaço correspondente. No caso l.d., remova vetores do conjunto de forma a obter um conjunto li. com o máximo possível de vetores.
(3,2,0,-1),(6,-2,0,0),(9,0,4,4) em R^4.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de três vetores em R^4:
(3,2,0,-1), (6,-2,0,0), (9,0,4,4)
Nosso objetivo é determinar se esse conjunto é linearmente independente (li.) ou dependente (l.d.). Se for independente, vamos estender o conjunto para formar uma base do espaço. Se for dependente, vamos remover vetores para obter um conjunto o mais independente possível. Para isso, vamos precisar revisar conceitos de combinações lineares e testar a independência linear usando matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Lembre-se que um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Para isso, podemos montar uma matriz onde cada coluna é um dos vetores e verificar o posto dessa matriz.
Nossa matriz será:
A = 3 & 6 & 9 2 & -2 & 0 0 & 0 & 4 -1 & 0 & 4

Passo 3

Agora, vamos calcular o posto da matriz A. O posto é o número máximo de colunas (ou linhas) que são linearmente independentes. Se o posto for igual ao número de vetores (no caso, 3), então os vetores são linearmente independentes. Caso contrário, são dependentes.
Podemos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz e encontrar seu posto.

Passo 4

Aplicando a eliminação de Gauss:
  1. Primeiro, mantemos o primeiro pivô como 3.
  2. Eliminamos os elementos abaixo do primeiro pivô na primeira coluna:
    • 3 & 6 & 9 0 & -6 & -6 0 & 0 & 4 0 & 2 & 7
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 5

Continuamos com a eliminação:
  1. O segundo pivô é -6 na segunda coluna.
  2. Eliminamos o elemento abaixo do segundo pivô na segunda coluna:
    • 3 & 6 & 9 0 & -6 & -6 0 & 0 & 4 0 & 0 & 5
A matriz então fica:

Passo 6

Finalmente, observamos que há três pivôs (um em cada coluna principal). Isso significa que o posto da matriz é 3, que é igual ao número de vetores. Portanto, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes. Para formar uma base de R^4, precisamos de mais um vetor. Podemos adicionar, por exemplo, o vetor (0,0,0,1). Assim, a base fica:
(3,2,0,-1), (6,-2,0,0), (9,0,4,4), (0,0,0,1)

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