Em cada item, determine se o conjunto é linearmente independente (li.) ou linearmente dependente (l.d.). No caso l.i., estenda o conjunto de forma a obter uma base do espaço correspondente. No caso l.d., remova vetores do conjunto de forma a obter um conjunto li. com o máximo possível de vetores. em .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de três vetores em :
Nosso objetivo é determinar se esse conjunto é linearmente independente (li.) ou dependente (l.d.). Se for independente, vamos estender o conjunto para formar uma base do espaço. Se for dependente, vamos remover vetores para obter um conjunto o mais independente possível. Para isso, vamos precisar revisar conceitos de combinações lineares e testar a independência linear usando matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Lembre-se que um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Para isso, podemos montar uma matriz onde cada coluna é um dos vetores e verificar o posto dessa matriz.
Nossa matriz será:
Passo 3
Agora, vamos calcular o posto da matriz A. O posto é o número máximo de colunas (ou linhas) que são linearmente independentes. Se o posto for igual ao número de vetores (no caso, 3), então os vetores são linearmente independentes. Caso contrário, são dependentes.
Podemos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz e encontrar seu posto.
Passo 4
Aplicando a eliminação de Gauss:
Primeiro, mantemos o primeiro pivô como 3.
Eliminamos os elementos abaixo do primeiro pivô na primeira coluna:
3 & 6 & 9 0 & -6 & -6 0 & 0 & 4 0 & 2 & 7
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 5
Continuamos com a eliminação:
O segundo pivô é -6 na segunda coluna.
Eliminamos o elemento abaixo do segundo pivô na segunda coluna:
3 & 6 & 9 0 & -6 & -6 0 & 0 & 4 0 & 0 & 5
A matriz então fica:
Passo 6
Finalmente, observamos que há três pivôs (um em cada coluna principal). Isso significa que o posto da matriz é 3, que é igual ao número de vetores. Portanto, os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores são linearmente independentes. Para formar uma base de R^4, precisamos de mais um vetor. Podemos adicionar, por exemplo, o vetor (0,0,0,1). Assim, a base fica: