Considere a matriz A=[lllll1 & 2 & 1 & 2 & 3 2 & 4 & 0 & 1 & 5 3 & 6 & 1 & 3 & 6 4 & 8 & 0 & 1 & 9].
Encontre una base para o espaço linha de A formada por vetores linha de A.

Passo 1

Resumo da Questão:
Temos a matriz 1 & 2 & 1 & 2 & 3 2 & 4 & 0 & 1 & 5 3 & 6 & 1 & 3 & 6 4 & 8 & 0 & 1 & 9 . Queremos encontrar uma base para o espaço das linhas de usando as próprias linhas da matriz.
Conteúdo da Matéria:
Vamos trabalhar com Espaço Vetorial e Bases, mais especificamente o Espaço das Linhas de uma matriz. Precisaremos usar operações elementares de linha para simplificar a matriz e identificar as linhas que formam a base.

Passo 2

Entendendo o Espaço das Linhas:
O espaço das linhas de é o conjunto de todas as combinações lineares das linhas de . Uma base para esse espaço é um conjunto de linhas que são linearmente independentes e que geram todo o espaço das linhas.

Passo 3

Aplicando Operações de Linha:
Para encontrar as linhas que formam a base, vamos simplificar a matriz usando operações de linha para deixá-la na forma escalonada por linhas.

Passo 4

Primeira Operação: Tornar o Primeiro Elemento da Primeira Linha 1 (já está 1):
Não precisamos trocar nada na primeira linha, pois o primeiro elemento já é 1.
Matriz após a primeira operação:
1 & 2 & 1 & 2 & 3 2 & 4 & 0 & 1 & 5 3 & 6 & 1 & 3 & 6 4 & 8 & 0 & 1 & 9

Passo 5

Zerar os Elementos Abaixo do Primeiro Pivô:
Vamos eliminar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna.
  • 1 & 2 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & -2 & -3 & -1 0 & 0 & -2 & -3 & -3 0 & 0 & -4 & -7 & -3
Calculando:
Matriz após a segunda operação:

Passo 6

Identificando Linhas Dependentes:
Observamos que as linhas 2, 3 e 4 têm múltiplos similares. Precisamos simplificar mais para identificar quais são independentes.

Passo 7

Simplificando a Segunda Linha:
Vamos dividir a segunda linha por -2 para facilitar.
  • 1 & 2 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & 1.5 & 0.5 0 & 0 & -2 & -3 & -3 0 & 0 & -4 & -7 & -3
Matriz após a terceira operação:

Passo 8

Eliminando os Coeficientes da Terceira e Quarta Linhas:
Usando a segunda linha simplificada, vamos eliminar os valores na terceira e quarta linhas.
  • 1 & 2 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & 1.5 & 0.5 0 & 0 & 0 & 0 & -2 0 & 0 & 0 & -1 & -1
Matriz após a quarta operação:

Passo 9

Simplificando a Quarta Linha:
Vamos multiplicar a quarta linha por -1 para facilitar.
  • 1 & 2 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & 1.5 & 0.5 0 & 0 & 0 & 0 & -2 0 & 0 & 0 & 1 & 1
Matriz após a quinta operação:

Passo 10

Eliminando Colunas Acabadas:
Agora, vamos usar a quarta linha para eliminar o 1.5 na segunda linha.
  • 1 & 2 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & -2 0 & 0 & 0 & 1 & 1
Matriz após a sexta operação:

Passo 11

Identificando as Linhas Pivot:
Agora, as linhas que contêm os pivôs (1s responsáveis por cada coluna independente) são:
  1. Primeira linha: pivô na primeira coluna.
  2. Segunda linha: pivô na terceira coluna.
  3. Quarta linha: pivô na quarta coluna.
A terceira linha não possui pivô novo, então ela é dependente.

Passo 12

Selecionando as Linhas Independentes:
As linhas independentes são a primeira, a segunda e a quarta.

Resposta

Uma base para o espaço das linhas de 1 & 2 & 1 & 2 & 3, 2 & 4 & 0 & 1 & 5, 4 & 8 & 0 & 1 & 9 é formada pelas seguintes linhas de :

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