Em cada item, marque como Verdadeiro (V) ou Falso (F) e justifique sua resposta.
A transformação T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(2 x+y, 2 z-x) é injetiva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dizer se a transformação , definida por , é injetiva. Isso está ligado ao conteúdo de transformações lineares e injeção. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser injetiva e verificar se a T atende a essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação injetiva. Uma transformação é injetiva se elementos diferentes do domínio levam a imagens diferentes no contradomínio. Em outras palavras, se implica que , então a transformação é injetiva.

Passo 3

Vamos aplicar isso à transformação . Precisamos verificar se, a partir de , sempre que , isso implica que . Isso porque estamos testando se a única maneira de obter a imagem nula é com o vetor nulo.

Passo 4

Vamos montar as equações:
2x + y = 0 2z - x = 0
Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação: .
  2. Substituindo na primeira equação: .
Isso significa que, para qualquer valor de , podemos encontrar e que satisfazem o sistema. Então, existem infinitas soluções além de .

Passo 5

Como existem soluções diferentes do vetor nulo que levam à imagem nula, a transformação não é injetiva.

Resposta

Falso. A transformação não é injetiva, pois existem vetores diferentes de zero que são mapeados para o vetor nulo.

Exercícios relacionados