Em cada item, marque como Verdadeiro (V) ou Falso (F) e justifique sua resposta.
A transformação
dada por
é injetiva.
A transformação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dizer se a transformação
, definida por
, é injetiva. Isso está ligado ao conteúdo de transformações lineares e injeção. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser injetiva e verificar se a T atende a essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação injetiva. Uma transformação é injetiva se elementos diferentes do domínio levam a imagens diferentes no contradomínio. Em outras palavras, se
implica que
, então a transformação é injetiva.
Passo 3
Vamos aplicar isso à transformação
. Precisamos verificar se, a partir de
, sempre que
, isso implica que
. Isso porque estamos testando se a única maneira de obter a imagem nula é com o vetor nulo.
Passo 4
Vamos montar as equações:
Resolvendo o sistema:
- Da segunda equação:
⇒ . - Substituindo na primeira equação:
⇒ ⇒ .
Isso significa que, para qualquer valor de
, podemos encontrar
e
que satisfazem o sistema. Então, existem infinitas soluções além de
.
Passo 5
Como existem soluções diferentes do vetor nulo que levam à imagem nula, a transformação
não é injetiva.
Resposta
Falso. A transformação
não é injetiva, pois existem vetores diferentes de zero que são mapeados para o vetor nulo.