Em cada item, marque como Verdadeiro (V) ou Falso (F) e justifique sua resposta.
A funçâo determinante det: Mn times n R é uma transformação linear para qualquer n in N.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dizer se a função determinante, que pega uma matriz quadrada de tamanho n times n e retorna um número real, é uma transformação linear para qualquer n natural. Estamos falando de álgebra linear e transformações lineares, então vamos precisar lembrar o que define uma transformação linear para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas propriedades:
  1. Aditividade: T(u + v) = T(u) + T(v) para quaisquer vetores u e v.
  2. Homogeneidade: T(cu) = cT(u) para qualquer escalar c e vetor u.
Agora, vamos analisar a função determinante. Vamos ver se ela satisfaz essas duas propriedades:
Aditividade:
Se considerarmos duas matrizes A e B, será que det(A + B) = det(A) + det(B)? Na verdade, não. Por exemplo, se A e B são matrizes identidade de ordem 2, temos:
det(I + I) = det(2I) = 2^2 = 4
Enquanto det(I) + det(I) = 1 + 1 = 2, que é diferente de 4. Então, a aditividade não é satisfeita.
Homogeneidade:
Vamos ver se det(cA) = cdet(A). Para uma matriz n times n, sabemos que:
det(cA) = c^n det(A)
Isso só será igual a cdet(A) se n = 1. Para qualquer n >= 2, isso não é verdade.
Como a função determinante não satisfaz nem a aditividade nem a homogeneidade (exceto para n=1), ela não é uma transformação linear para qualquer n in N.

Resposta

Falso (F). A função determinante não é uma transformação linear para qualquer n in N porque não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade exigidas para transformações lineares.

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