Em cada item, marque como Verdadeiro (V) ou Falso (F) e justifique sua resposta.
A funçâo determinante det:
é uma transformação linear para qualquer
.
A funçâo determinante det:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dizer se a função determinante, que pega uma matriz quadrada de tamanho
e retorna um número real, é uma transformação linear para qualquer
natural. Estamos falando de álgebra linear e transformações lineares, então vamos precisar lembrar o que define uma transformação linear para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas propriedades:
- Aditividade:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor .
Agora, vamos analisar a função determinante. Vamos ver se ela satisfaz essas duas propriedades:
Aditividade:
Se considerarmos duas matrizes e
, será que
? Na verdade, não. Por exemplo, se
e
são matrizes identidade de ordem 2, temos:
Se considerarmos duas matrizes
Enquanto
, que é diferente de 4. Então, a aditividade não é satisfeita.
Homogeneidade:
Vamos ver se . Para uma matriz
, sabemos que:
Vamos ver se
Isso só será igual a
se
. Para qualquer
, isso não é verdade.
Como a função determinante não satisfaz nem a aditividade nem a homogeneidade (exceto para
), ela não é uma transformação linear para qualquer
.
Resposta
Falso (F). A função determinante não é uma transformação linear para qualquer
porque não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade exigidas para transformações lineares.