Em cada item, determine se o conjunto é linearmente independente (li.) ou linearmente dependente (l.d.). No caso l.i., estenda o conjunto de forma a obter uma base do espaço correspondente. No caso l.d., remova vetores do conjunto de forma a obter um conjunto li. com o máximo possível de vetores.
no espaço das funções de classe
definidas
.
Passo 1
Beleza! Então, o que a gente tem aqui é um conjunto de funções:
. Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto é linearmente independente (li) ou linearmente dependente (ld) no espaço das funções de classe
definidas em
. Se for independente, vamos tentar expandir o conjunto para formar uma base; se for dependente, vamos remover funções até ficar com um conjunto independente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou funções, no nosso caso) é linearmente independente se nenhuma função pode ser escrita como combinação linear das outras. Se conseguir escrever uma função como combinação das outras, o conjunto é dependente.
Passo 3
Vamos verificar se alguma das funções pode ser expressa como combinação das outras. Olhando para
, que é uma função constante, faz sentido considerar se as outras funções podem ser combinadas para dar uma constante. Vamos escrever uma combinação linear:
Queremos ver se existem valores de
que não sejam todos zero que satisfaçam essa equação para todo
.
Passo 4
Sabemos que
, então
. Isso nos dá:
Simplificando:
Para que essa equação seja válida para todo
, os coeficientes devem ser zero:
Passo 5
Isso significa que existe uma relação não trivial entre as funções, já que podemos escolher
,
,
, e
para satisfazer as equações acima. Portanto, o conjunto é linearmente dependente.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente. Removendo a função constante, obtemos o conjunto independente
.