Em cada item, determine se o conjunto é linearmente independente (li.) ou linearmente dependente (l.d.). No caso l.i., estenda o conjunto de forma a obter uma base do espaço correspondente. No caso l.d., remova vetores do conjunto de forma a obter um conjunto li. com o máximo possível de vetores.
sen^2 2 x, cos ^2 2 x, sen^2 x cos ^2 x, 31 no espaço das funções de classe C^infty definidas cm R.

Passo 1

Beleza! Então, o que a gente tem aqui é um conjunto de funções: . Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto é linearmente independente (li) ou linearmente dependente (ld) no espaço das funções de classe definidas em . Se for independente, vamos tentar expandir o conjunto para formar uma base; se for dependente, vamos remover funções até ficar com um conjunto independente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou funções, no nosso caso) é linearmente independente se nenhuma função pode ser escrita como combinação linear das outras. Se conseguir escrever uma função como combinação das outras, o conjunto é dependente.

Passo 3

Vamos verificar se alguma das funções pode ser expressa como combinação das outras. Olhando para a sin^2 2x + b cos^2 2x + c sin^2 x cos^2 x + d cdot 31 = 0 , que é uma função constante, faz sentido considerar se as outras funções podem ser combinadas para dar uma constante. Vamos escrever uma combinação linear:
Queremos ver se existem valores de que não sejam todos zero que satisfaçam essa equação para todo .

Passo 4

Sabemos que a (1) + b (1) + c sin^2 x cos^2 x + 31d = 0 , então (a + b + 31d) + c sin^2 x cos^2 x = 0 . Isso nos dá:
a + b + 31d = 0
Simplificando:
c = 0
Para que essa equação seja válida para todo , os coeficientes devem ser zero:

Passo 5

Isso significa que existe uma relação não trivial entre as funções, já que podemos escolher , , , e para satisfazer as equações acima. Portanto, o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente. Removendo a função constante, obtemos o conjunto independente .

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