Scjam B1=u1, u2 e B2=v1, v2 onde
u1=(1,2), u2=(2,3), v1=(1,3) cup v2=(1,4)
Seja w^prime=(2,5). Encontre o vetor de coordenadas w^prime]B2 e use a matriz PB2 B1 para encontrar [w^prime]B1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente trabalhar com bases de vetores e coordenadas. Estamos usando Álgebra Linear, mais especificamente, mudança de base e representação de vetores em diferentes bases. Precisaremos entender como expressar um vetor em uma base diferente e como usar a matriz de transição entre bases para encontrar a representação final. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as bases fornecidas e o vetor que precisamos representar. Temos duas bases:
  • Base B₁: composta pelos vetores e .
  • Base B₂: composta pelos vetores e .
E o vetor dado é .

Passo 3

Nosso primeiro objetivo é encontrar as coordenadas do vetor w' = a cdot v1 + b cdot v2 na base (2, 5) = a cdot (1, 3) + b cdot (1, 4) , ou seja, queremos achar 1a + 1b = 2 3a + 4b = 5 . Isso significa que vamos expressar como uma combinação linear dos vetores de .
Então, queremos encontrar escalares e tais que:
Substituindo os valores:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar a + b = 2 Rightarrow a = 2 - b e 3(2 - b) + 4b = 5 6 - 3b + 4b = 5 6 + b = 5 b = 5 - 6 b = -1 .
Primeira equação:
a = 2 - (-1) = 3
Substituímos na segunda equação:
Agora, substituímos na expressão para :

Passo 5

Então, encontramos que [w']B2 = 3 -1 e . Portanto, as coordenadas de na base são:

Passo 6

Agora, precisamos usar a matriz de transição para encontrar , ou seja, as coordenadas de na base .
A matriz de transição de para é construída colocando os vetores de escritos na base como colunas. Para isso, precisamos expressar e em termos de .

Passo 7

Vamos encontrar as coordenadas de v1 = c cdot u1 + d cdot u2 (1, 3) = c cdot (1, 2) + d cdot (2, 3) na base 1c + 2d = 1 2c + 3d = 3 . Procuramos scalars 2(1 - 2d) + 3d = 3 2 - 4d + 3d = 3 - d = 1 d = -1 e 3 -1 tais que:
Isso dá o sistema:
Resolvendo:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda:
Então, .
Logo, na base é .

Passo 8

Fazemos o mesmo para v2 = e cdot u1 + f cdot u2 (1, 4) = e cdot (1, 2) + f cdot (2, 3) . Procuramos 1e + 2f = 1 2e + 3f = 4 e 2(1 - 2f) + 3f = 4 2 - 4f + 3f = 4 - f = 2 f = -2 tais que:
5 -2
Sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda:
Então, .
Logo, .

Passo 9

Agora, a matriz de transição PB2 B1 = 3 & 5 -1 & -2 é formada pelas coordenadas de e na base :

Passo 10

Para encontrar [w']B1 = PB2 B1 cdot [w']B2 , usamos a relação:
3 & 5 -1 & -2 cdot 3 -1 = 3 cdot 3 + 5 cdot (-1) -1 cdot 3 + (-2) cdot (-1) = 9 - 5 -3 + 2 = 4 -1
Substituindo os valores:

Resposta

As coordenadas do vetor [w']B1 = 4 -1 na base são:

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