Scjam
e
onde
Seja
. Encontre o vetor de coordenadas
e use a matriz
para encontrar
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente trabalhar com bases de vetores e coordenadas. Estamos usando Álgebra Linear, mais especificamente, mudança de base e representação de vetores em diferentes bases. Precisaremos entender como expressar um vetor em uma base diferente e como usar a matriz de transição entre bases para encontrar a representação final. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as bases fornecidas e o vetor que precisamos representar. Temos duas bases:
- Base B₁: composta pelos vetores
e . - Base B₂: composta pelos vetores
e .
E o vetor dado é
.
Passo 3
Nosso primeiro objetivo é encontrar as coordenadas do vetor
na base
, ou seja, queremos achar
. Isso significa que vamos expressar
como uma combinação linear dos vetores de
.
Então, queremos encontrar escalares
e
tais que:
Substituindo os valores:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Primeira equação:
Substituímos
na segunda equação:
Agora, substituímos
na expressão para
:
Passo 5
Então, encontramos que
e
. Portanto, as coordenadas de
na base
são:
Passo 6
Agora, precisamos usar a matriz de transição
para encontrar
, ou seja, as coordenadas de
na base
.
A matriz de transição de
para
é construída colocando os vetores de
escritos na base
como colunas. Para isso, precisamos expressar
e
em termos de
.
Passo 7
Vamos encontrar as coordenadas de
na base
. Procuramos scalars
e
tais que:
Isso dá o sistema:
Resolvendo:
Da primeira equação: .
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então,
.
Logo,
na base
é
.
Passo 8
Fazemos o mesmo para
. Procuramos
e
tais que:
Sistema:
Da primeira equação:
.
Substituindo na segunda:
Então,
.
Logo,
.
Passo 9
Agora, a matriz de transição
é formada pelas coordenadas de
e
na base
:
Passo 10
Para encontrar
, usamos a relação:
Substituindo os valores:
Resposta
As coordenadas do vetor
na base
são: