Em cada item, marque como Verdadeiro (V) ou Falso (F) e justifique sua resposta.
O conjunto
formado pelas matrizes triangulares superiores é um subespaço vetorial de dimensão
.
O conjunto
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos o conjunto
que consiste em todas as matrizes triangulares superiores de tamanho
. A pergunta quer saber se esse conjunto é um subespaço vetorial de
(o espaço de todas as matrizes
) e se sua dimensão é
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de subespaço vetorial e dimensão de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é realmente um subespaço vetorial de
. Para ser um subespaço, o conjunto precisa satisfazer três propriedades:
- Contém o zero: A matriz zero é triangular superior, então está em
. - Fechado para adição: Se
e são matrizes triangulares superiores, então também é triangular superior. - Fechado para multiplicação por escalar: Se
é triangular superior e é um escalar, então também é triangular superior.
Como todas essas propriedades são verdadeiras, concluímos que
é um subespaço vetorial.
Passo 3
Agora, vamos calcular a dimensão desse subespaço. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desses vetores. Para matrizes triangulares superiores, os elementos acima e na diagonal principal podem ser quaisquer números, enquanto os abaixo da diagonal são zeros.
Em uma matriz
, há
elementos na diagonal e
elementos acima dela. Portanto, o total de elementos livres é:
Isso significa que a dimensão de
é
.
Resposta
Verdadeiro (V). O conjunto
é um subespaço vetorial de
e possui dimensão
.