Em cada item, marque como Verdadeiro (V) ou Falso (F) e justifique sua resposta.
O conjunto Tn times n^+ subset Mn times n formado pelas matrizes triangulares superiores é um subespaço vetorial de dimensão n(n+1) / 2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos o conjunto que consiste em todas as matrizes triangulares superiores de tamanho . A pergunta quer saber se esse conjunto é um subespaço vetorial de (o espaço de todas as matrizes ) e se sua dimensão é . Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de subespaço vetorial e dimensão de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é realmente um subespaço vetorial de . Para ser um subespaço, o conjunto precisa satisfazer três propriedades:
  1. Contém o zero: A matriz zero é triangular superior, então está em .
  2. Fechado para adição: Se e são matrizes triangulares superiores, então também é triangular superior.
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se é triangular superior e é um escalar, então também é triangular superior.
Como todas essas propriedades são verdadeiras, concluímos que é um subespaço vetorial.

Passo 3

Agora, vamos calcular a dimensão desse subespaço. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desses vetores. Para matrizes triangulares superiores, os elementos acima e na diagonal principal podem ser quaisquer números, enquanto os abaixo da diagonal são zeros.
Em uma matriz n + n(n-1)2 = 2n + n(n-1)2 = n(n+1)2 , há elementos na diagonal e elementos acima dela. Portanto, o total de elementos livres é:
Isso significa que a dimensão de é .

Resposta

Verdadeiro (V). O conjunto é um subespaço vetorial de e possui dimensão .

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