Em cada item, determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa descobrir a dimensão e uma base para o espaço vetorial definido por todos os pares
em
que satisfazem a equação
. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente estudando subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, como determinar a dimensão de um espaço vetorial e como identificar vetores que possam formar essa base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a condição
. Essa equação relaciona as coordenadas
e
dos vetores no plano
. Podemos reescrever essa equação para expressar uma das variáveis em função da outra. Por exemplo:
Isso significa que para qualquer valor de
, o valor de
será o oposto. Então, podemos representar qualquer vetor
que satisfaça essa condição como:
Passo 3
Agora, vamos fatorar o
dessa expressão para ver a estrutura do vetor:
O que isso nos mostra é que todo vetor no espaço definido pela equação
pode ser escrito como um múltiplo escalar do vetor
. Em termos de álgebra linear, isso significa que o conjunto de todos esses vetores é gerado pelo vetor
.
Passo 4
Para determinar a dimensão desse espaço vetorial, precisamos identificar quantos vetores são necessários para formar uma base completa. Como vimos, todo vetor no espaço pode ser expresso como um único múltiplo do vetor
, isso indica que apenas um vetor é suficiente para gerar todo o espaço. Portanto, a dimensão desse espaço vetorial é 1.
Passo 5
Agora, vamos formalizar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, o vetor
é não nulo e, portanto, é linearmente independente por si só. Além disso, já vimos que ele gera todo o espaço definido por
.
Resposta
A dimensão do espaço vetorial
é 1, e uma base para esse espaço é o conjunto
.
Exercícios relacionados
Seja
.
Encontre as matrizes e
tais que
.
Encontre as matrizes
a) O conjunto
,
é Ll ou LD?
Seja
.
Encontre todos os autovalores e autovetores associados.
Encontre todos os autovalores e autovetores associados.
Sejam os vetores
e
d) É possível escrever como combinação linear de
e
de maneira diferente da encontrada no item anterior? Se sim, exiba algumas.
d) É possível escrever