Em cada item, determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa descobrir a dimensão e uma base para o espaço vetorial definido por todos os pares em que satisfazem a equação . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente estudando subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, como determinar a dimensão de um espaço vetorial e como identificar vetores que possam formar essa base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a condição . Essa equação relaciona as coordenadas e dos vetores no plano . Podemos reescrever essa equação para expressar uma das variáveis em função da outra. Por exemplo:
Isso significa que para qualquer valor de , o valor de será o oposto. Então, podemos representar qualquer vetor que satisfaça essa condição como:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o dessa expressão para ver a estrutura do vetor:
O que isso nos mostra é que todo vetor no espaço definido pela equação pode ser escrito como um múltiplo escalar do vetor . Em termos de álgebra linear, isso significa que o conjunto de todos esses vetores é gerado pelo vetor .

Passo 4

Para determinar a dimensão desse espaço vetorial, precisamos identificar quantos vetores são necessários para formar uma base completa. Como vimos, todo vetor no espaço pode ser expresso como um único múltiplo do vetor , isso indica que apenas um vetor é suficiente para gerar todo o espaço. Portanto, a dimensão desse espaço vetorial é 1.

Passo 5

Agora, vamos formalizar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, o vetor é não nulo e, portanto, é linearmente independente por si só. Além disso, já vimos que ele gera todo o espaço definido por .

Resposta

A dimensão do espaço vetorial é 1, e uma base para esse espaço é o conjunto .

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Seja .
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d) É possível escrever como combinação linear de e de maneira diferente da encontrada no item anterior? Se sim, exiba algumas.