Seja
.
Encontre as matrizes
e
tais que
.
Encontre as matrizes
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz
e queremos encontrar duas matrizes
e
de forma que
. Isso está relacionado ao processo de diagonalização de matrizes, onde
será uma matriz diagonal e
será formada pelos autovetores de
. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e os autovetores da matriz
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores
são encontrados resolvendo a equação característica:
Aqui,
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
. Vamos calcular isso:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Então, os autovalores são:
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada
.
Para
:
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Para
:
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Passo 4
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos construir as matrizes
e
.
A matriz
é formada pelos autovetores como colunas:
A matriz
é uma matriz diagonal com os autovalores nas posições correspondentes:
Resposta
As matrizes desejadas são: