Seja A=[ll3 & -4 2 & -6].
Encontre as matrizes P e D tais que D=P^-1 A P.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz 3 & -4 2 & -6 e queremos encontrar duas matrizes e de forma que . Isso está relacionado ao processo de diagonalização de matrizes, onde será uma matriz diagonal e será formada pelos autovetores de . Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e os autovetores da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores A - lambda I = 3 - lambda & -4 2 & -6 - lambda são encontrados resolvendo a equação característica:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(-6 - lambda) - (-4)(2) = 0
Aqui, (3 - lambda)(-6 - lambda) + 8 = 0 é a matriz identidade do mesmo tamanho que -18 - 3lambda + 6lambda + lambda^2 + 8 = 0 . Vamos calcular isso:
lambda^2 + 3lambda - 10 = 0
lambda = -3 pm raiz9 + 402 = -3 pm raiz492 = -3 pm 72
lambda1 = 2 e lambda2 = -5
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Então, os autovalores são:

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada (A - 2I)v = 0 Rightarrow 1 & -4 2 & -8 v1 v2 = 0 0 .
Para v1 - 4v2 = 0 Rightarrow v1 = 4v2 :
4 1
Isso nos dá as equações:
(A + 5I)v = 0 Rightarrow 8 & -4 2 & -1 v1 v2 = 0 0
Podemos escolher 8v1 - 4v2 = 0 Rightarrow 2v1 - v2 = 0 Rightarrow v2 = 2v1 , então o autovetor é 1 2 .
Para :
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher , então o autovetor é .

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos construir as matrizes P = 4 & 1 1 & 2 e D = 2 & 0 0 & -5 .
A matriz é formada pelos autovetores como colunas:
A matriz é uma matriz diagonal com os autovalores nas posições correspondentes:

Resposta

As matrizes desejadas são:
P = 4 & 1 1 & 2 e D = 2 & 0 0 & -5

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