Seja .
Encontre as matrizes e tais que .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz e queremos encontrar duas matrizes e de forma que . Isso está relacionado ao processo de diagonalização de matrizes, onde será uma matriz diagonal e será formada pelos autovetores de . Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e os autovetores da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Vamos calcular isso:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Então, os autovalores são:

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher , então o autovetor é .
Para :
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher , então o autovetor é .

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos construir as matrizes e .
A matriz é formada pelos autovetores como colunas:
A matriz é uma matriz diagonal com os autovalores nas posições correspondentes:

Resposta

As matrizes desejadas são:

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a) O conjunto , é Ll ou LD?
Escreva, se possível, como combinação linear de e :
e .
Em cada item, determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
Seja .
Encontre todos os autovalores e autovetores associados.