Sejam os vetores u=(1,0), v=(3,1) e w=(0,2)
d) É possível escrever x como combinação linear de u e v de maneira diferente da encontrada no item anterior? Se sim, exiba algumas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu os vetores u = (1,0), v = (3,1) e w = (0,2). A questão é saber se podemos escrever o vetor x como uma combinação linear de u e v de uma maneira diferente da que foi encontrada anteriormente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente combinações lineares e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa escrever x como uma combinação linear de u e v. Isso quer dizer que existem escalares (números) a e b tais que:
x = au + bv
Substituindo os vetores, temos:
x = a(1,0) + b(3,1) = (a + 3b, 0 + b) = (a + 3b, b)

Passo 3

Agora, queremos encontrar se existem valores diferentes de a e b que também satisfaçam essa igualdade para um certo x. Mas, para isso, precisamos saber qual é o vetor x que estamos tentando expressar. Pelo contexto, parece que x é w = (0,2).
Então, vamos igualar as coordenadas:
a + 3b = 0 (1)
b = 2 (2)

Passo 4

Resolvendo a equação (2), j�� sabemos que b = 2. Substituindo esse valor na equação (1):
a + 3(2) = 0 a + 6 = 0 a = -6
Portanto, temos que:
w = -6u + 2v

Passo 5

Agora, para saber se existem outras maneiras de expressar w como combinação linear de u e v, precisamos verificar se há outros pares (a, b) que satisfaçam as equações acima além de a = -6 e b = 2.

Resposta

Não, não é possível escrever w como combinação linear de u e v de maneira diferente. A combinação linear é única, ou seja, apenas w = -6u + 2v satisfaz as equações.

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