Sejam os vetores
e
d) É possível escrever
como combinação linear de
e
de maneira diferente da encontrada no item anterior? Se sim, exiba algumas.
d) É possível escrever
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu os vetores
,
e
. A questão é saber se podemos escrever o vetor
como uma combinação linear de
e
de uma maneira diferente da que foi encontrada anteriormente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente combinações lineares e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa escrever
como uma combinação linear de
e
. Isso quer dizer que existem escalares (números)
e
tais que:
Substituindo os vetores, temos:
Passo 3
Agora, queremos encontrar se existem valores diferentes de
e
que também satisfaçam essa igualdade para um certo
. Mas, para isso, precisamos saber qual é o vetor
que estamos tentando expressar. Pelo contexto, parece que
é
.
Então, vamos igualar as coordenadas:
Passo 4
Resolvendo a equação (2), j�� sabemos que
. Substituindo esse valor na equação (1):
Portanto, temos que:
Passo 5
Agora, para saber se existem outras maneiras de expressar
como combinação linear de
e
, precisamos verificar se há outros pares
que satisfaçam as equações acima além de
e
.
Resposta
Não, não é possível escrever
como combinação linear de
e
de maneira diferente. A combinação linear é única, ou seja, apenas
satisfaz as equações.
Exercícios relacionados
Seja
.
Encontre todos os autovalores e autovetores associados.
Encontre todos os autovalores e autovetores associados.
Em cada item, determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
Mostre que se
for um conjunto qualquer, então
é um reticulado com a relação de
.
Em cada item, classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD.