Seja
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Encontre todos os autovalores e autovetores associados.
Encontre todos os autovalores e autovetores associados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz quadrada
. O exercício pede para encontrar todos os autovalores e autovetores associados a essa matriz. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz característica e resolver algumas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, a gente precisa montar a equação característica da matriz
. A equação característica é dada por:
Aqui,
representa os autovalores e
é a matriz identidade de mesma ordem que
. Então, vamos montar a matriz
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Vamos resolver essa expressão passo a passo:
-
Multiplicamos os elementos diagonais:
-
Multiplicamos os elementos fora da diagonal:
-
Somamos os resultados:
Então, a equação característica fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores
. A equação é:
Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo:
Isso nos dá dois autovalores:
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.
Passo 5
Para cada autovalor
, vamos resolver a equação
para encontrar o autovetor
.
Para
:
Montamos a matriz
:
Agora, resolvemos o sistema:
Observamos que a segunda equação é o dobro da primeira, então basta resolver a primeira:
Podemos escolher
, então:
Logo, um autovetor associado a
é:
Para
:
Montamos a matriz
:
Resolvemos o sistema:
Novamente, a segunda equação é uma versão simplificada da primeira. Resolvendo a segunda:
Escolhendo
, temos:
Então, um autovetor associado a
é:
Resposta
Os autovalores da matriz
são
e
. Os autovetores correspondentes são: