Seja A=[ll3 & -4 2 & -6].
Encontre todos os autovalores e autovetores associados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz quadrada A = 3 & -4 2 & -6 . O exercício pede para encontrar todos os autovalores e autovetores associados a essa matriz. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz característica e resolver algumas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, a gente precisa montar a equação característica da matriz A. A equação característica é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, lambda representa os autovalores e I é a matriz identidade de mesma ordem que A. Então, vamos montar a matriz A - lambda I:
A - lambda I = 3 - lambda & -4 2 & -6 - lambda

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(-6 - lambda) - (-4)(2)
Vamos resolver essa expressão passo a passo:
  1. Multiplicamos os elementos diagonais:
    (3 - lambda)(-6 - lambda) = -18 -3lambda +6lambda + lambda^2 = lambda^2 +3lambda -18
  2. Multiplicamos os elementos fora da diagonal:
    -(-4)(2) = 8
  3. Somamos os resultados:
    lambda^2 +3lambda -18 +8 = lambda^2 +3lambda -10
Então, a equação característica fica:
lambda^2 + 3lambda -10 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores lambda. A equação é:
lambda^2 + 3lambda -10 = 0
Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1, b = 3 e c = -10. Substituindo:
lambda = -3 pm raiz9 + 402 = -3 pm raiz492 = -3 pm 72
Isso nos dá dois autovalores:
  1. lambda1 = -3 + 72 = 2
  2. lambda2 = -3 - 72 = -5
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.

Passo 5

Para cada autovalor lambda, vamos resolver a equação (A - lambda I)v = 0 para encontrar o autovetor v.
Para lambda1 = 2:
Montamos a matriz A - 2I:
A - 2I = 3-2 & -4 2 & -6-2 = 1 & -4 2 & -8
Agora, resolvemos o sistema:
1 cdot v1 - 4 cdot v2 = 0 2 cdot v1 - 8 cdot v2 = 0
Observamos que a segunda equação é o dobro da primeira, então basta resolver a primeira:
v1 = 4v2
Podemos escolher v2 = 1, então:
v1 = 4
Logo, um autovetor associado a lambda1 = 2 é:
v^(1) = 4 1
Para lambda2 = -5:
Montamos a matriz A - (-5)I = A + 5I:
A + 5I = 3+5 & -4 2 & -6+5 = 8 & -4 2 & -1
Resolvemos o sistema:
8 cdot v1 - 4 cdot v2 = 0 2 cdot v1 - v2 = 0
Novamente, a segunda equação é uma versão simplificada da primeira. Resolvendo a segunda:
v2 = 2v1
Escolhendo v1 = 1, temos:
v2 = 2
Então, um autovetor associado a lambda2 = -5 é:
v^(2) = 1 2

Resposta

Os autovalores da matriz A são lambda1 = 2 e lambda2 = -5. Os autovetores correspondentes são:
v^(1) = 4 1 e v^(2) = 1 2

Exercícios relacionados