Beleza! Vamos resolver a questão que pergunta se o conjunto é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e dependência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser Linearmente Independente ou Dependente. Um conjunto de vetores (ou funções, no nosso caso) é Linearmente Independente (LI) se nenhuma função do conjunto pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Ou seja, não há uma relação onde você multiplica cada função por um número e soma tudo para obter zero, a menos que todos os números sejam zero.
Por outro lado, o conjunto é Linearmente Dependente (LD) se pelo menos uma função pode ser escrita como uma combinação linear das outras.
Passo 3
Vamos assumir que existe uma combinação linear das funções em que resulta na função zero. Isso significa que existem constantes , e tais que:
Nosso objetivo é ver se a única solução para essa equação é (o que indicaria que o conjunto é LI) ou se existem outras soluções (indicando que o conjunto é LD).
Passo 4
Vamos expandir a equação:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 5
Para que essa equação seja igual a zero para todo , os coeficientes de , e o termo constante devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. A partir da primeira equação, temos:
Substituindo nas outras equações:
E na terceira equação:
Isso confirma que não há conflito, e todas as soluções satisfazem e . Isso significa que existe uma solução não trivial (onde , , e não são todos zero).