Em cada item, determine o domínio da função.
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da função
. Aqui, estamos trabalhando com funções que envolvem radicais e frações. Para encontrar o domínio, precisamos identificar todos os valores de
para os quais a função está definida. Isso significa que o que está dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero, e o denominador da fração não pode ser zero.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que o denominador da fração não seja zero, pois divisão por zero não é permitida. Ou seja, precisamos resolver a equação:
Resolvendo para
:
Portanto,
não pode ser
nem
.
Passo 3
Agora, vamos garantir que a expressão dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero:
Para resolver essa desigualdade, vamos analisar os sinais do numerador e do denominador separadamente.
Passo 4
Primeiro, identifiquemos os pontos onde o numerador ou o denominador são zero:
Esses valores dividem a reta numérica em intervalos que vamos analisar.
Passo 5
Vamos dividir a reta numérica nos seguintes intervalos baseados nos pontos críticos
e
:
Agora, vamos analisar o sinal da fração em cada intervalo.
Passo 6
Intervalo 1:
- Numerador
: negativo (pois é menor que ) - Denominador
: negativo (pois é maior que , então e ) - Fração: positiva (negativo dividido por negativo dá positivo)
Intervalo 2:
- Numerador
: negativo (pois ) - Denominador
: positivo (pois , então e ) - Fração: negativa (negativo dividido por positivo dá negativo)
Intervalo 3:
- Numerador
: positivo (pois ) - Denominador
: negativo (pois , então e ) - Fração: negativa (positivo dividido por negativo dá negativo)
Passo 7
A fração
é maior ou igual a zero somente onde a fração é positiva ou zero. Observando os intervalos:
- No Intervalo 1 (
), a fração é positiva. - No Intervalo 2 (
), a fração é negativa. - No Intervalo 3 (
), a fração é negativa.
Além disso, nos pontos onde o numerador é zero (
), a fração vale zero, mas como
faz o denominador ser zero também, esse ponto não está no domínio.
Resposta
O domínio da função
é: