Em cada item, determine o domínio da função. f(x) = raiz((2*x - 1) / (2 - 8*x^2)).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da função . Aqui, estamos trabalhando com funções que envolvem radicais e frações. Para encontrar o domínio, precisamos identificar todos os valores de para os quais a função está definida. Isso significa que o que está dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero, e o denominador da fração não pode ser zero.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que o denominador da fração não seja zero, pois divisão por zero não é permitida. Ou seja, precisamos resolver a equação:
Resolvendo para :
Portanto, não pode ser nem .

Passo 3

Agora, vamos garantir que a expressão dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero:
Para resolver essa desigualdade, vamos analisar os sinais do numerador e do denominador separadamente.

Passo 4

Primeiro, identifiquemos os pontos onde o numerador ou o denominador são zero:
Esses valores dividem a reta numérica em intervalos que vamos analisar.

Passo 5

Vamos dividir a reta numérica nos seguintes intervalos baseados nos pontos críticos e :
Agora, vamos analisar o sinal da fração em cada intervalo.

Passo 6

Intervalo 1:
  • Numerador : negativo (pois é menor que )
  • Denominador : negativo (pois é maior que , então e )
  • Fração: positiva (negativo dividido por negativo dá positivo)
Intervalo 2:
  • Numerador : negativo (pois )
  • Denominador : positivo (pois , então e )
  • Fração: negativa (negativo dividido por positivo dá negativo)
Intervalo 3:
  • Numerador : positivo (pois )
  • Denominador : negativo (pois , então e )
  • Fração: negativa (positivo dividido por negativo dá negativo)

Passo 7

A fração é maior ou igual a zero somente onde a fração é positiva ou zero. Observando os intervalos:
  • No Intervalo 1 ( ), a fração é positiva.
  • No Intervalo 2 ( ), a fração é negativa.
  • No Intervalo 3 ( ), a fração é negativa.
Além disso, nos pontos onde o numerador é zero ( ), a fração vale zero, mas como faz o denominador ser zero também, esse ponto não está no domínio.

Resposta

O domínio da função é:

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