Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar o limite. Vamos usar conceitos de sequências e limites, especificamente lidando com raízes e potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como os termos
e
se comportam conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Observe que, conforme
aumenta,
cresce muito mais rápido que
. Isso significa que, para valores grandes de
, o termo
domina a soma
.
Podemos reescrever a expressão assim:
Passo 3
Vamos analisar cada parte dessa expressão. Sabemos que:
Agora, olhemos para a segunda parte:
Note que
tende a 0 quando
vai para o infinito, porque estamos elevando uma fração menor que 1 a potências cada vez maiores. Portanto, a expressão dentro da raiz fica próxima de 1:
Passo 4
Então, juntando tudo:
Isso mostra que, conforme
cresce, a sequência se aproxima cada vez mais de 3.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é 3.