Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite. raiz(2^n + 3^n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar o limite. Vamos usar conceitos de sequências e limites, especificamente lidando com raízes e potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como os termos e se comportam conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Observe que, conforme aumenta, cresce muito mais rápido que . Isso significa que, para valores grandes de , o termo domina a soma .
Podemos reescrever a expressão assim:

Passo 3

Vamos analisar cada parte dessa expressão. Sabemos que:
Agora, olhemos para a segunda parte:
Note que tende a 0 quando vai para o infinito, porque estamos elevando uma fração menor que 1 a potências cada vez maiores. Portanto, a expressão dentro da raiz fica próxima de 1:

Passo 4

Então, juntando tudo:
Isso mostra que, conforme cresce, a sequência se aproxima cada vez mais de 3.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 3.

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