Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se a sequência converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e comparar o crescimento de funções exponenciais com funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as partes da sequência. No numerador, temos , que representa uma função exponencial. No denominador, temos , que é uma função polinomial de segundo grau. Sabemos que funções exponenciais crescem mais rapidamente que funções polinomiais conforme aumenta.

Passo 3

Para determinar o comportamento da sequência, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 4

Esse limite é do tipo , então podemos aplicar a regra de L’Hôpital. A regra de L’Hôpital nos permite derivar o numerador e o denominador para simplificar o cálculo do limite.

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital pela primeira vez, derivamos o numerador e o denominador:

Passo 6

O limite ainda é do tipo , então aplicamos a regra de L’Hôpital novamente:

Resposta

A sequência diverge para o infinito.

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