Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se a sequência
converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e comparar o crescimento de funções exponenciais com funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as partes da sequência. No numerador, temos
, que representa uma função exponencial. No denominador, temos
, que é uma função polinomial de segundo grau. Sabemos que funções exponenciais crescem mais rapidamente que funções polinomiais conforme
aumenta.
Passo 3
Para determinar o comportamento da sequência, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Passo 4
Esse limite é do tipo
, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital. A regra de L’Hôpital nos permite derivar o numerador e o denominador para simplificar o cálculo do limite.
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital pela primeira vez, derivamos o numerador e o denominador:
Passo 6
O limite ainda é do tipo
, então aplicamos a regra de L’Hôpital novamente:
Resposta
A sequência
diverge para o infinito.
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Em cada item, determine o domínio da função.
.
Descreva como obter o esboço do gráfico de
a partir do gráfico da função
.
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