Explique porque a série sumn=1^infty(1+1n)^2 n é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita: . O que precisamos aqui é entender se essa série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de análise de séries e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos da série, que são . Queremos saber o que acontece com esses termos quando fica muito grande, ou seja, quando tende ao infinito.

Passo 3

Sabemos que (1+1n)^2n = ((1+1n)^n)^2 approx e^2 , onde é aproximadamente 2.718. Então, se a gente elevar isso ao quadrado, temos:
Portanto, .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos da série não for zero, a série diverge. No nosso caso, o limite dos termos é (que é aproximadamente 7.389), ou seja, diferente de zero.

Resposta

A série é divergente porque o limite dos termos é .

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