Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumk=3^infty(34)^k-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série sumk=3^infty(34)^k-2 converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular a soma dela. Vamos precisar entender sobre séries geométricas, que é o conteúdo principal aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observe que o expoente k-2 pode ser reescrito:
(34)^k-2 = (34)^k cdot (34)^-2 = (34)^k cdot (43)^2
Então, nossa série fica:
sumk=3^infty(34)^k-2 = (43)^2 sumk=3^infty(34)^k

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é uma série geométrica. É uma série da forma sumk=0^infty ar^k, onde a é o primeiro termo e r é a razão. Uma série geométrica converge se o valor absoluto de r for menor que 1, ou seja, |r| < 1. Se converge, a soma da série é dada por:
S = a1 - r

Passo 4

No nosso caso, a série sumk=3^infty(34)^k é uma série geométrica onde:
  • a = (34)^3 (já que começa no k=3)
  • r = 34
Como |r| = 34 < 1, sabemos que a série converge.

Passo 5

Vamos calcular a soma da série. Primeiro, calculamos a:
a = (34)^3 = 2764
Agora, aplicamos a fórmula da soma:
S = 27641 - 34 = 276414 = 2764 times 4 = 2716

Passo 6

Lembrando que a série original tinha um fator (43)^2 multiplicando nossa soma, então vamos multiplicar isso também:
Soma total = (43)^2 times 2716 = 169 times 2716 = 279 = 3

Resposta

A série sumk=3^infty(34)^k-2 converge e a soma da série é 3.

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