Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular a soma dela. Vamos precisar entender sobre séries geométricas, que é o conteúdo principal aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observe que o expoente
pode ser reescrito:
Então, nossa série fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é uma série geométrica. É uma série da forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão. Uma série geométrica converge se o valor absoluto de
for menor que 1, ou seja,
. Se converge, a soma da série é dada por:
Passo 4
No nosso caso, a série
é uma série geométrica onde:
-
(já que começa no ) -
Como
, sabemos que a série converge.
Passo 5
Vamos calcular a soma da série. Primeiro, calculamos
:
Agora, aplicamos a fórmula da soma:
Passo 6
Lembrando que a série original tinha um fator
multiplicando nossa soma, então vamos multiplicar isso também:
Resposta
A série
converge e a soma da série é 3.