Em cada item, determine o domínio e a imagem da função. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio e a imagem da função . Isso faz parte da matéria de funções, mais especificamente envolvendo funções exponenciais e radicais. Para resolver isso, precisamos entender para quais valores de a função está definida (domínio) e quais são os possíveis valores que pode assumir (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero para evitar números imaginários. Então, vamos resolver a seguinte inequação:

Passo 3

Resolvendo a inequação , temos:
Sabemos que é sempre positivo. Agora, lembrando que quando e que a função exponencial cresce conforme aumenta. Portanto, para que , precisa ser menor ou igual a zero.

Passo 4

Então, o domínio da função é:
Ou seja, todos os números reais menores ou iguais a zero.

Passo 5

Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, os possíveis valores que pode assumir. Sabemos que a raiz quadrada sempre resulta em números não negativos. Vamos analisar os limites:
  • Quando :
  • Quando tende a menos infinito:
Então,
Portanto, varia de 0 a 1.

Resposta

O domínio da função é e a imagem é o intervalo .

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