Em cada item, determine o domínio e a imagem da função.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio e a imagem da função
. Isso faz parte da matéria de funções, mais especificamente envolvendo funções exponenciais e radicais. Para resolver isso, precisamos entender para quais valores de
a função está definida (domínio) e quais são os possíveis valores que
pode assumir (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero para evitar números imaginários. Então, vamos resolver a seguinte inequação:
Passo 3
Resolvendo a inequação
, temos:
Sabemos que
é sempre positivo. Agora, lembrando que
quando
e que a função exponencial
cresce conforme
aumenta. Portanto, para que
,
precisa ser menor ou igual a zero.
Passo 4
Então, o domínio da função
é:
Ou seja, todos os números reais menores ou iguais a zero.
Passo 5
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, os possíveis valores que
pode assumir. Sabemos que a raiz quadrada sempre resulta em números não negativos. Vamos analisar os limites:
- Quando
:
- Quando
tende a menos infinito:
Então,
Portanto,
varia de 0 a 1.
Resposta
O domínio da função
é
e a imagem é o intervalo
.
Exercícios relacionados
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Verdadeiro ou Falso? Justifique. Toda função injetora é uma bijeção entre seu domínio e sua imagem.
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Verdadeiro ou Falso? Justifique. Existe função com domínio e contra-domínio iguais a reta real que é simultaneamente par e ímpar.