Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se a sequência
converge ou não. Se ela convergir, a gente também precisa achar qual é o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a sequência faz conforme
cresce. Temos
no numerador e
no denominador. Sabemos que a função cosseno,
, oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Ou seja,
para todo
.
Passo 3
Agora, vamos dividir essa desigualdade por
, que está no denominador. Como
é positivo e cresce sem limite, a desigualdade fica assim:
Isso nos mostra que
está sempre entre
e
.
Passo 4
Sabemos que, conforme
tende ao infinito,
tende a 0. Então, tanto
quanto
se aproximam de 0. Pelo Teorema do Aperto (ou Teorema da Sandwich), se uma sequência está sempre entre duas outras que convergem para o mesmo limite, ela também converge para esse limite.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Aperto aqui, já que
e
quando
, então:
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
.
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.
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