Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se a sequência converge ou não. Se ela convergir, a gente também precisa achar qual é o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a sequência faz conforme cresce. Temos no numerador e no denominador. Sabemos que a função cosseno, , oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Ou seja, para todo .

Passo 3

Agora, vamos dividir essa desigualdade por , que está no denominador. Como é positivo e cresce sem limite, a desigualdade fica assim:
Isso nos mostra que está sempre entre e .

Passo 4

Sabemos que, conforme tende ao infinito, tende a 0. Então, tanto quanto se aproximam de 0. Pelo Teorema do Aperto (ou Teorema da Sandwich), se uma sequência está sempre entre duas outras que convergem para o mesmo limite, ela também converge para esse limite.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Aperto aqui, já que e quando , então:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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