Verdadeiro ou Falso? Justifique. Existe função com domínio e contra-domínio iguais a reta real que é simultaneamente par e ímpar.

Passo 1

Então, o que a questão tá perguntando é se existe uma função onde tanto o domínio quanto o contra-domínio são todos os números reais, e que essa função seja, ao mesmo tempo, par e ímpar. Vamos usar os conceitos de funções pares e ímpares pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são funções pares e ímpares:
  • Função Par: Uma função f é par se, para todo x no domínio, f(-x) = f(x). Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y.
  • Função Ímpar: Uma função f é ímpar se, para todo x no domínio, f(-x) = -f(x). Isso faz com que o gráfico seja simétrico em relação à origem.

Passo 3

Agora, se a função f é tanto par quanto ímpar, ela precisa satisfazer as duas condições:
  1. f(-x) = f(x) (por ser par)
  2. f(-x) = -f(x) (por ser ímpar)

Passo 4

Vamos igualar as duas expressões:
f(x) = -f(x)
Isso significa que f(x) + f(x) = 0, ou seja, 2f(x) = 0. Simplificando, temos f(x) = 0 para todo x.

Passo 5

A única função que atende a essa condição é a função constante zero, onde para qualquer número real x, f(x) = 0. Essa função tem domínio e contra-domínio iguais a todos os números reais.

Resposta

Verdadeiro. A única função que é simultaneamente par e ímpar com domínio e contra-domínio iguais à reta real é a função f (x )= 0.

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