Em cada item, determine uma equação geral para o plano que contém os pontos A, B e C.
(a) A=(2,1,1), B=(-1,0,1) e C = (3, -2, 4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A tarefa aqui é encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos específicos no espaço: , e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e álgebra linear, como vetores normais e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a equação geral de um plano tem a forma:
Onde , e são os coeficientes que definem a orientação do plano, e é o termo constante.

Passo 3

Para encontrar esses coeficientes, precisamos determinar um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular ao plano. Podemos fazer isso usando o produto vetorial dos vetores que conectam dois pares de pontos no plano.

Passo 4

Vamos começar criando dois vetores a partir dos pontos dados. Vamos chamar:

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial desses dois vetores para encontrar o vetor normal :
Então, o vetor normal é .

Passo 6

Com o vetor normal e sabendo que o plano passa pelo ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos distribuir os termos:
Agora, somamos os termos constantes:

Resposta

A equação geral do plano que contém os pontos , e é:

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