Em cada item, determine uma equação geral para o plano que contém os pontos e .
(a) e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A tarefa aqui é encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos específicos no espaço: , e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e álgebra linear, como vetores normais e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a equação geral de um plano tem a forma:
Onde , e são os coeficientes que definem a orientação do plano, e é o termo constante.
Passo 3
Para encontrar esses coeficientes, precisamos determinar um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular ao plano. Podemos fazer isso usando o produto vetorial dos vetores que conectam dois pares de pontos no plano.
Passo 4
Vamos começar criando dois vetores a partir dos pontos dados. Vamos chamar:
Passo 5
Agora, calculamos o produto vetorial desses dois vetores para encontrar o vetor normal :
Então, o vetor normal é .
Passo 6
Com o vetor normal e sabendo que o plano passa pelo ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos distribuir os termos:
Agora, somamos os termos constantes:
Resposta
A equação geral do plano que contém os pontos , e é: