partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0,0
com as condições de contorno dadas.
a) lu(0, y)=u(a, y)=0 u(x, 0)=0, u(x, b)=f(x)

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial parcial conhecida como Equação de Laplace:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0 para 0 < x < a, , 0 < y < b
E algumas condições de contorno que a solução deve satisfazer:
l u(0, y) = u(a, y) = 0 u(x, 0) = 0 u(x, b) = f(x)
Vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar a solução da função .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução u(x, y) = X(x) cdot Y(y) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de d^2Xdx^2 cdot Y + X cdot d^2Ydy^2 = 0 e outra que depende só de . Ou seja:
Essa é a ideia por trás da separação de variáveis. Assim, substituímos na equação de Laplace:

Passo 3

Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por 1X d^2Xdx^2 + 1Y d^2Ydy^2 = 0 :
1X d^2Xdx^2 = -lambda e 1Y d^2Ydy^2 = lambda
Perceba que o lado esquerdo da equação tem uma parte que depende apenas de e outra que depende apenas de . Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os e , cada parte deve ser igual a uma constante negativa. Vamos chamar essa constante de :

Passo 4

Vamos resolver a equação para d^2Xdx^2 + lambda X = 0 :
lambdan = ( npia )^2 para n = 1, 2, 3, dots
Com as condições de contorno Xn(x) = sin( npi xa ) , isso implica que . A solução não trivial dessa equação ocorre quando assume valores específicos:
E as soluções correspondentes para são:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para d^2Ydy^2 - lambda Y = 0 :
d^2Ydy^2 - ( npia )^2 Y = 0
Substituindo Yn(y) = An sinh( npi ya ) + Bn cosh( npi ya ) :
A solução geral dessa equação é:

Passo 6

Aplicamos agora as condições de contorno para determinar os coeficientes u(x, 0) = Xn(x) cdot Yn(0) = 0 Rightarrow Yn(0) = 0 e Yn(y) = An sinh( npi ya ) . Sabemos que u(x, b) = sumn=1^infty Xn(x) Yn(b) = f(x) , então:
f(x) = sumn=1^infty An sinh( npi ba ) sin( npi xa )
Isso implica que , então:
Agora, aplicamos a condição :
Isso leva a uma série de Fourier para em termos dos senos :

Passo 7

Para encontrar os coeficientes integral0^a f(x) sin( mpi xa ) dx = Am sinh( mpi ba ) cdot a2 , multiplicamos ambos os lados por Am = 2a sinh( mpi ba ) integral0^a f(x) sin( mpi xa ) dx e integramos de 0 a :
Resolvendo para :

Resposta

A solução geral para u(x, y) = sumn=1^infty [ 2a sinh( npi ba ) integral0^a f(xi) sin( npi xia ) dxi ] sinh( npi ya ) sin( npi xa ) que satisfaz a Equação de Laplace e as condições de contorno dadas é:
Essa série de Fourier representa a solução para no domínio definido, atendendo às condições de contorno fornecidas.

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