b) la^2 partial^2 upartial x^2=partial^2 upartial t^2, 00 u(0, t)=0,partial upartial x|x=1=0, t>0 u(x, 0)=x,partial upartial t|t=0=0,0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação de onda, que é uma equação diferencial parcial, com algumas condições de fronteira e iniciais. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier. Basicamente, vamos quebrar o problema em partes menores para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação dada:
a^2 partial^2 upartial x^2 = partial^2 upartial t^2,
onde e . Essa é a clássica equação da onda, onde representa a velocidade da onda.

Passo 3

As condições de fronteira são:
  1. – isso significa que a onda está fixa na posição .
  2. – aqui, a inclinação da onda em é zero, o que indica uma fronteira livre ou refletora.

Passo 4

As condições iniciais são:
  1. – a forma inicial da onda no tempo é uma linha reta.
  2. – a velocidade inicial da onda é zero, ou seja, a onda não está se movendo no in��cio.

Passo 5

Vamos usar a separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como a^2 X''(x)T(t) = X(x)T''(t) . Substituindo na equação da onda:
X''(x)X(x) = T''(t)a^2T(t) = -lambda,
Dividindo ambos os lados por :
onde é uma constante de separação.

Passo 6

Agora, temos duas equações ordinárias:
  1. ,
  2. .
Vamos resolver a equação para primeiro.

Passo 7

As condições de fronteira para X(x) = A sin(raizlambda x) + B cos(raizlambda x) são:
  1. 0 = A sin(0) + B cos(0) Rightarrow B = 0 ,
  2. .
A solução geral para é:
Aplicando :
Então, .

Passo 8

Aplicando a segunda condição de fronteira X'(x) = A raizlambda cos(raizlambda x), :
X'(1) = A raizlambda cos(raizlambda) = 0
então,
cos(raizlambda) = 0 Rightarrow raizlambda = (n + 12)pi, n = 0,1,2,dots
Para que isso seja zero (com lambdan = ((n + 12)pi)^2 ), temos:
Portanto,

Passo 9

Agora, resolvemos para T''(t) + a^2lambdan T(t) = 0 :
Tn(t) = Cn cos(a raizlambdan t) + Dn sin(a raizlambdan t)
A solução geral é:

Passo 10

Assim, a solução geral da equação de onda é uma soma das soluções separadas:
u(x,t) = sumn=0^infty [An sin((n + 12)pi x) cos(a (n + 12)pi t)]
Os coeficientes são determinados pelas condições iniciais.

Passo 11

Aplicando a condição inicial x = sumn=0^infty An sin((n + 12)pi x) :
An = 2 integral0^1 x sin((n + 12)pi x) dx
Isso é uma série de Fourier senoidal, onde pode ser encontrado usando a fórmula dos coeficientes de Fourier:

Passo 12

Calculando os coeficientes An = 4(n + 12)pi :
Usando integração por partes, encontramos que:

Passo 13

Finalmente, substituímos u(x,t) = sumn=0^infty 4(n + 12)pi sin((n + 12)pi x) cos(a (n + 12)pi t) na solução geral:

Resposta

A solução da equação de onda dada é:
u(x,t) = sumn=0^infty 4(n + 12)pi sin((n + 12)pi x) cos(a (n + 12)pi t)

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