b)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação de onda, que é uma equação diferencial parcial, com algumas condições de fronteira e iniciais. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier. Basicamente, vamos quebrar o problema em partes menores para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação dada:
onde
e
. Essa é a clássica equação da onda, onde
representa a velocidade da onda.
Passo 3
As condições de fronteira são:
-
– isso significa que a onda está fixa na posição . -
– aqui, a inclinação da onda em é zero, o que indica uma fronteira livre ou refletora.
Passo 4
As condições iniciais são:
-
– a forma inicial da onda no tempo é uma linha reta. -
– a velocidade inicial da onda é zero, ou seja, a onda não está se movendo no in��cio.
Passo 5
Vamos usar a separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como
a^2 X''(x)T(t) = X(x)T''(t) . Substituindo na equação da onda:
Dividindo ambos os lados por
:
onde
é uma constante de separação.
Passo 6
Agora, temos duas equações ordinárias:
-
, -
.
Vamos resolver a equação para
primeiro.
Passo 7
As condições de fronteira para
X(x) = A sin(raizlambda x) + B cos(raizlambda x) são:
-
,0 = A sin(0) + B cos(0) Rightarrow B = 0 -
.
A solução geral para
é:
Aplicando
:
Então,
.
Passo 8
Aplicando a segunda condição de fronteira
X'(x) = A raizlambda cos(raizlambda x), :
então,
Para que isso seja zero (com
lambdan = ((n + 12)pi)^2 ), temos:
Portanto,
Passo 9
Agora, resolvemos para
T''(t) + a^2lambdan T(t) = 0 :
A solução geral é:
Passo 10
Assim, a solução geral da equação de onda é uma soma das soluções separadas:
Os coeficientes
são determinados pelas condições iniciais.
Passo 11
Aplicando a condição inicial
x = sumn=0^infty An sin((n + 12)pi x) :
Isso é uma série de Fourier senoidal, onde
pode ser encontrado usando a fórmula dos coeficientes de Fourier:
Passo 12
Calculando os coeficientes
An = 4(n + 12)pi :
Usando integração por partes, encontramos que:
Passo 13
Finalmente, substituímos
u(x,t) = sumn=0^infty 4(n + 12)pi sin((n + 12)pi x) cos(a (n + 12)pi t) na solução geral:
Resposta
A solução da equação de onda dada é: