sujeita às condições indicadas. Suponha uma haste de comprimento L.
a) $\left{\right.\right.
$$
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação de difusão de calor:
Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Parciais, especificamente a equação do calor. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier, além de entender as condições de contorno e iniciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a) da questão:
Aqui, temos condições de contorno de Dirichlet (as pontas da haste estão mantidas em temperatura zero) e uma condição inicial que define a distribuição de temperatura na haste no instante inicial.
Passo 3
Para resolver a equação, usamos separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de u(x, t) = X(x) cdot T(t) e outra que depende apenas de k X''(x) T(t) = X(x) T'(t) :
X''(x)X(x) = 1k T'(t)T(t) = -lambda
Substituindo isso na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.
Passo 4
Agora, temos duas equações ordinárias:
Para X''(x) + lambda X(x) = 0 :
T'(t) + k lambda T(t) = 0
Para Xn(x) = sin(npi xL), n = 1, 2, 3, dots :
lambdan = (npiL)^2
Resolvendo a equação para com as condições de contorno :
A solução geral é:
E os valores de são:
Passo 5
Resolvendo a equação para Tn(t) = e^-k lambdan t = e^-k (npiL)^2 t :
Passo 6
A solução geral da equação do calor é uma soma de todas as soluções separáveis:
u(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(npi xL) e^-k (npiL)^2 t
Onde são os coeficientes de Fourier que determinam a contribuição de cada modo na solução.
Passo 7
Para encontrar os coeficientes u(x, 0) = sumn=1^infty Bn sin(npi xL) = 1, & 0 < x < L2 0, & L2 < x < L , usamos a condição inicial Bn = 2L integral0^L u(x, 0) sin(npi xL) dx :
Calculamos os coeficientes usando a fórmula da série de Fourier para funções parciais:
Passo 8
Dividimos a integral em duas partes, já que Bn = 2L ( integral0^L2 1 cdot sin(npi xL) dx + integralL2^L 0 cdot sin(npi xL) dx ) é diferente em cada intervalo: