k partial^2 upartial x^2=partial upartial t, 00
sujeita às condições indicadas. Suponha uma haste de comprimento L.
a) $\left{\right.\right.
$$

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação de difusão de calor:
k partial^2 upartial x^2 = partial upartial t, 0 < x < L, t > 0
Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Parciais, especificamente a equação do calor. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier, além de entender as condições de contorno e iniciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a) da questão:
l u(0, t) = u(L, t) = 0 u(x, 0) = l 1, 0 < x < L2 0, L2 < x < L
Aqui, temos condições de contorno de Dirichlet (as pontas da haste estão mantidas em temperatura zero) e uma condição inicial que define a distribuição de temperatura na haste no instante inicial.

Passo 3

Para resolver a equação, usamos separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de u(x, t) = X(x) cdot T(t) e outra que depende apenas de k X''(x) T(t) = X(x) T'(t) :
X''(x)X(x) = 1k T'(t)T(t) = -lambda
Substituindo isso na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 4

Agora, temos duas equações ordinárias:
  1. Para X''(x) + lambda X(x) = 0 :
T'(t) + k lambda T(t) = 0
  1. Para Xn(x) = sin(npi xL), n = 1, 2, 3, dots :
lambdan = (npiL)^2
Resolvendo a equação para com as condições de contorno :
A solução geral é:
E os valores de são:

Passo 5

Resolvendo a equação para Tn(t) = e^-k lambdan t = e^-k (npiL)^2 t :

Passo 6

A solução geral da equação do calor é uma soma de todas as soluções separáveis:
u(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(npi xL) e^-k (npiL)^2 t
Onde são os coeficientes de Fourier que determinam a contribuição de cada modo na solução.

Passo 7

Para encontrar os coeficientes u(x, 0) = sumn=1^infty Bn sin(npi xL) = 1, & 0 < x < L2 0, & L2 < x < L , usamos a condição inicial Bn = 2L integral0^L u(x, 0) sin(npi xL) dx :
Calculamos os coeficientes usando a fórmula da série de Fourier para funções parciais:

Passo 8

Dividimos a integral em duas partes, já que Bn = 2L ( integral0^L2 1 cdot sin(npi xL) dx + integralL2^L 0 cdot sin(npi xL) dx ) é diferente em cada intervalo:
Bn = 2L integral0^L2 sin(npi xL) dx
Simplificando:

Passo 9

Calculamos a integral:
integral sin(npi xL) dx = -Lnpi cos(npi xL) + C
Avaliando de 0 a [ -Lnpi cos(npi xL) ]0^L2 = -Lnpi [ cos(npi2) - cos(0) ] = -Lnpi [ cos(npi2) - 1 ] :

Passo 10

Substituindo de volta em Bn = 2L ( -Lnpi [ cos(npi2) - 1 ] ) = 2npi (1 - cos(npi2)) :

Passo 11

Simplificando a expressão de Bn = 4npi, para n ímpar :
Para valores de ímpares, , e para pares, . Isso significa que apenas os termos ímpares terão contribuição na série.
Então:
í
E para par.

Passo 12

Finalmente, substituímos u(x, t) = summ=1^infty 4(2m-1)pi sin((2m-1)pi xL) e^-k ((2m-1)piL)^2 t de volta na solução geral:
Onde

Resposta

A solução da equação de difusão de calor com as condições dadas é:
u(x, t) = summ=1^infty 4(2m-1)pi sin((2m-1)pi xL) e^-k ((2m-1)piL)^2 t

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