Em cada item, determine uma equação geral para o plano que contém os pontos e .
(b) e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a equação geral de um plano que contém os pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre equações de planos no espaço tridimensional. Vamos precisar calcular vetores no plano e encontrar um vetor normal a ele para chegar na equação desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar dois vetores que pertencem ao plano formado pelos pontos , e . Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores e . Para isso, usamos o produto vetorial (ou produto cruzado) dos dois vetores:
Calculando o produto cruzado:
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 4
Com o vetor normal e um ponto do plano, vamos usar a forma geral da equação do plano:
Onde são as coordenadas do vetor normal e é um ponto no plano. Podemos usar o ponto :
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Resposta
A equação geral do plano que contém os pontos , e é: