Em cada item, encontre equações geral, vetorial e paramétricas para o plano que passa por A e é normal a n.
(a) A = (2, -3, 0) e n = (1, 0, -2).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um ponto e um vetor normal . A tarefa é encontrar as equações geral, vetorial e paramétrica de um plano que passa pelo ponto e é perpendicular ao vetor .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente com a determinação de equações de planos.
O que vamos precisar para resolver:
  • Entender o que é um vetor normal a um plano.
  • Saber como usar o ponto e o vetor normal para formular as equações do plano.
  • Conhecer as formas geral, vetorial e paramétrica de uma equação de plano.

Passo 2

Entendendo o vetor normal e a equação geral do plano:
Um vetor normal a um plano é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. A equação geral de um plano pode ser escrita usando o vetor normal e um ponto que pertence ao plano:
Neste caso, temos:
  • , então , , .
  • Ponto , então , , .

Passo 3

Aplicando os valores na equação geral do plano:
Substituindo os valores de e na equação geral:
Simplificando:

Passo 4

Expressando a equação geral de forma simplificada:
Podemos deixar a equação mais clara isolando os termos:
Esta é a equação geral do plano.

Passo 5

Encontrando a equação vetorial do plano:
A equação vetorial de um plano pode ser escrita como:
Onde:
  • é o vetor posição do ponto .
  • e são vetores diretores no plano.
  • e são parâmetros.
Primeiro, identificamos .
Agora, precisamos encontrar dois vetores diretores e que estejam no plano e, portanto, sejam perpendiculares ao vetor normal .

Passo 6

Encontrando os vetores diretores:
Para encontrar vetores diretores e no plano, podemos escolher valores para dois componentes e resolver para a terceira de forma que o vetor resultante seja perpendicular a .
Vamos encontrar :
  • Escolha e .
  • De : (Não funciona).
Tentar outra vez:
  • Escolha e .
  • De : .
  • Então, .
Agora, encontramos :
  • Escolha e .
  • De : .
  • Então, .

Passo 7

Escrevendo a equação vetorial do plano:
Com , e , a equação vetorial fica:
Onde e são parâmetros reais.

Passo 8

Encontrando as equações paramétricas do plano:
A partir da equação vetorial, podemos separar as componentes para obter as equações paramétricas:

Resposta

As equações do plano são:
  • Equação geral:
  • Equação vetorial:
  • Equações paramétricas:
Onde e são números reais.

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