Em cada item, encontre equações geral, vetorial e paramétricas para o plano que passa por e é normal a .
(a) e .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um ponto e um vetor normal . A tarefa é encontrar as equações geral, vetorial e paramétrica de um plano que passa pelo ponto e é perpendicular ao vetor .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente com a determinação de equações de planos.
O que vamos precisar para resolver:
Entender o que é um vetor normal a um plano.
Saber como usar o ponto e o vetor normal para formular as equações do plano.
Conhecer as formas geral, vetorial e paramétrica de uma equação de plano.
Passo 2
Entendendo o vetor normal e a equação geral do plano:
Um vetor normal a um plano é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. A equação geral de um plano pode ser escrita usando o vetor normal e um ponto que pertence ao plano:
Neste caso, temos:
, então , , .
Ponto , então , , .
Passo 3
Aplicando os valores na equação geral do plano:
Substituindo os valores de e na equação geral:
Simplificando:
Passo 4
Expressando a equação geral de forma simplificada:
Podemos deixar a equação mais clara isolando os termos:
Esta é a equação geral do plano.
Passo 5
Encontrando a equação vetorial do plano:
A equação vetorial de um plano pode ser escrita como:
Onde:
é o vetor posição do ponto .
e são vetores diretores no plano.
e são parâmetros.
Primeiro, identificamos .
Agora, precisamos encontrar dois vetores diretores e que estejam no plano e, portanto, sejam perpendiculares ao vetor normal .
Passo 6
Encontrando os vetores diretores:
Para encontrar vetores diretores e no plano, podemos escolher valores para dois componentes e resolver para a terceira de forma que o vetor resultante seja perpendicular a .
Vamos encontrar :
Escolha e .
De : → (Não funciona).
Tentar outra vez:
Escolha e .
De : → → .
Então, .
Agora, encontramos :
Escolha e .
De : → → .
Então, .
Passo 7
Escrevendo a equação vetorial do plano:
Com , e , a equação vetorial fica:
Onde e são parâmetros reais.
Passo 8
Encontrando as equações paramétricas do plano:
A partir da equação vetorial, podemos separar as componentes para obter as equações paramétricas: